Question

函數y=x²（x＞0）的圖象在點（a_k，a_k²）處的切線與x軸交點的橫坐標為a_k+1（ k為正整數），其中a₁=16．設正整數數列{b_n}滿足：，當n≥2時，有．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（Ⅱ）求數列{b_n}的通項；
（Ⅲ）記，證明：對任意n∈N^*，．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在點（a_k，a_k²）處的切線方程為：y-a_k²=2a_k（x-a_k），當y=0時，解得，所以，由a₁=16，知a₂=8，a₃=4，由此能推導出b₁，b₂，b₃，b₄的值．
（Ⅱ）猜想：b_n=2•3^n-1，再由數學歸納法進行證明．
（Ⅲ）由，得，所以，=，故．
解答：解：（Ⅰ）在點（a_k，a_k²）處的切線方程為：y-a_k²=2a_k（x-a_k），
當y=0時，解得，所以，
又∵a₁=16，∴a₂=8，a₃=4，
a₄=2
n=2時，，
由已知b₁=2，b₂=6，得|36-2a₃|＜1，
因為b₃為正整數，所以b₃=18，同理b₄=54..（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：b_n=2•3^n-1（5分）
證明：①n=1，2時，命題成立；
②假設當n=k-1與n=k（k≥2且k∈N）時成立，
即b_k=2•3^k-1，b_k-1=2•3^k-2．
于是，
整理得：
由歸納假設得：
因為b_k+1為正整數，所以b_k+1=2•3^k
即當n=k+1時命題仍成立．
綜上：由知①②知對于?n∈N^*，有b_n=2•3^n-1成立（10分）
（Ⅲ）證明：由③
得④
③式減④式得⑤
⑥
⑤式減⑥式得
=-1+2
=1+2•
=
=
則．（16分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．