Question

【題目】已知函數 且是奇函數．

（1）求實數的值；

（2）若，對任意都有恒成立，求實數的取值范圍；

（3）設 且，若，是否存在實數使函數在上的最大值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2） (3)見解析

【解析】

（1）由奇函數的性質，可求出的值；（2）由，可以求出的范圍，進而可以得到的單調性，然后利用奇函數的性質，可以得到，從而得到對任意都有恒成立，利用二次函數的性質即可求出的取值范圍；（3）由可求出，假設存在實數，構造函數，則，對進行分類討論，即可判斷的值。

（1）因為的定義域為，且為奇函數，

所以，解得.檢驗：當時，，

對任意，都有，即是奇函數，所以成立。

（2）由（1）可得，由可得

因為，所以，解得，

則在單調遞減，在單調遞增，

所以在單調遞減，

由可得，

所以對任意都有恒成立，

即對任意恒成立，

所以，解得.

（3），

由可得，即，

因為，所以.

所以，易知在單調遞增.

令，則，

再令，則

因為，，

，

所以.因為在有意義，

所以對任意，都有恒成立，

所以，即

所以，所以.

二次函數圖像開口向上，對稱軸為直線，

因為，所以，

對稱軸始終在區間的左側

所以在區間單調遞增，

當時，，

時，，

假設存在滿足條件的實數，則：

若，則為減函數，，

即，所以，舍去；

若，則為增函數，，

即，所以，舍去.

綜上所述，不存在滿足條件的實數.