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【題目】棱長為1的正方體內部有一圓柱，此圓柱恰好以直線為軸.有下列命題：

①圓柱的母線與正方體所有的棱所成的角都相等；

②正方體所有的面與圓柱的底面所成的角都相等；

③在正方體內作與圓柱底面平行的截面，則截面的面積；

④圓柱側面積的最大值為.

其中正確的命題是______.

【答案】①②④

【解析】

根據正方體的特性分析可知①②正確，作出一個與圓柱底面平行的截面，舉出反例得到③錯誤，利用幾何法找出圓柱的底面半徑，列式計算圓柱側面積，結合均值不等式計算得到④正確，得到答案.

如圖所示：易知圓柱的母線與平行，由正方體的對稱性可知與其每條側棱間的夾角都相等，①正確；

設分別為對應棱的中點，易知共面，

易證，，則平面，平面，故，同理可得，故平面，

又圓柱的底面與垂直，

故平面與圓柱的底面平行，

根據正方體的特點可知，平面與正方體所有側面的夾角相同，

故正方體所有的面與圓柱的底面所成的角都相等，②正確；

此時截面的面積為，③錯誤；

設圓柱底面半徑為，則圓柱的底面必與過點的三個面相切，

且切點分別在線段上，設在上的切點為，為圓柱的一條高，

根據對稱性知：，則圓柱的高為，

，

當，即時等號成立，④正確.

故答案為：①②④.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線，過點的直線交拋物線于，，，兩點.當垂直于軸時，的面積為.

0

（1）求拋物線的方程：

（2）設線段的垂直平分線交軸于點.

①證明：為定值：

②若，求直線的斜率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的普通方程為，以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（I）求的參數方程與的直角坐標方程；

（II）射線與交于異于極點的點,與的交點為,求.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點A是以BC為直徑的圓O上異于B，C的動點，P為平面ABC外一點，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC，則三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為______．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】[選修4―4：坐標系與參數方程]

在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（θ為參數），直線l的參數方程為.

（1）若a=1，求C與l的交點坐標；

（2）若C上的點到l的距離的最大值為，求a.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】是指大氣中直徑小于或等于微米的顆粒物，也稱為可吸入肺顆粒物.我國標準采用世衛組織設定的最寬限值，即日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米微克/立方米之間空氣質量為二級；在75微克/立方米以上空氣質量為超標，某試點城市環保局從該市市區2019年上半年每天的監測數據中隨機的抽取15天的數據作為樣本，監測值如下莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）.

（1）在這15天的日均監測數據中，求其中位數；

（2）從這15天的數據中任取2天數據，記表示抽到監測數據超標的天數，求的分布列及數學期望；

（3）以這15天的日均值來估計該市下一年的空氣質量情況，則一年（按365天計算）中平均有多少天的空氣質量達到一級或二級.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知數列的前項和為，且．

（1）若為等差數列，且

①求該等差數列的公差；

②設數列滿足，則當為何值時，最大？請說明理由；

（2）若還同時滿足：

①為等比數列;

②；

③對任意的正整數存在自然數，使得、、依次成等差數列，試求數列的通項公式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2019年春節期間，我國高速公路繼續執行“節假日高速公路免費政策”某路橋公司為掌握春節期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了大年初三上午9:20~10:40這一時間段內通過的車輛數，統計發現這一時間段內共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段9:20~9:40記作區間，9:40~10:00記作，10:00~10:20記作，10:20~10:40記作.例如：10點04分，記作時刻64.

（1）估計這600輛車在9:20~10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；

（2）為了對數據進行分析，現采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中，在9:20~10:00之間通過的車輛數為X，求X的分布列與數學期望；

（3）由大數據分析可知，車輛在每天通過該收費點的時刻T服從正態分布，其中可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數據用該組區間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9:46~10:40之間通過的車輛數（結果保留到整數）.

參考數據：若，則，，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標中，圓，圓。

(Ⅰ)在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓的極坐標方程，并求出圓的交點坐標(用極坐標表示)；

(Ⅱ)求圓的公共弦的參數方程。

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