Question

【題目】如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD= ，AA1=3，E為CD上一點，DE=1，EC=3
（1）證明：BE⊥平面BB1C1C；
（2）求三棱錐B1﹣EA1C1的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過B作CD的垂線交CD于F，

則

在 ．

在△BCE中，∵BE2+BC2=9=EC2，

∴BE⊥BC，∵BB1⊥平面ABCD，∴BE⊥BB1，

∵BC∩BB1=B，∴BE⊥平面BB1C1C

（2）證明：∵點E到平面A11C1的距離為AA1=3，

∴三棱錐B1﹣EA1C1的體積：

= =

= = ．

【解析】（1）過B作CD的垂線交CD于F，推導出BE⊥BC，BE⊥BB1 ， 由此能證明BE⊥平面BB1C1C．（2）三棱錐B1﹣EA1C1的體積： = ，由此能求出結果．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的判定，需要了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能得出正確答案．