Question

【題目】已知函數f（x）=﹣2x2+ax+b且f（2）=﹣3．
（1）若函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，求函數f（x）在區間[﹣2，3]上的值域；
（2）若函數f（x）在區間[1，+∞）上遞減，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴ ．

∴f（x）=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，x∈[﹣2，3]．

∴f（x）min=f（﹣2）=﹣19，f（x）max=f（1）=﹣1．

∴函數f（x）在區間[﹣2，3]上的值域為[﹣19，﹣1]

（2）解：∵函數f（x）在區間[2，+∞）上遞減，

∴ ．

又f（2）=﹣3，∴b=﹣2a+5，

∵a≤4，

∴b≥﹣3

【解析】（1）利用函數的對稱軸與函數值求解a，b，然后通過二次函數的閉區間求解函數的最值即可．（2）利用對稱軸與二次函數的單調減區間的關系，列出不等式，以及函數值的關系，求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．