Question

【題目】已知定義域為R的函數f（x）= 是奇函數，
（1）求a的值；
（2）試判斷f（x）在（﹣∞，+∞）的單調性，并請你用函數單調性的定義給予證明；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＜0恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵定義域為R的函數f（x）= 是奇函數，

∴f（﹣x）= = =﹣f（x）= ，

∴a×2x+2=a+2x+1，

解得a=2．

檢驗：a=2時，f（x）= ，

∴f（﹣x）= = ，

∴f（x）+f（﹣x）=0對x∈R恒成立，即f（x）是奇函數．

∴當函數f（x）= 是奇函數時，a的值為2

（2）解：由（1）知 ，f（x）在（﹣∞，+∞）上是單調遞減函數．

證明如下：

令2x=t，則y= = =﹣ （1﹣ ）=﹣ ，

在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，

∵t=2x在（﹣∞，+∞）上是增函數，∴0＜t1＜t2，

∴y1﹣y2=（﹣ ）﹣（﹣ ）= = ，

∵0＜t1＜t2，∴t2﹣t1＞0，t1+1＞0，t2+1＞0，

∴y1﹣y2＞0，

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是單調遞減函數

（3）解：∵f（x）是奇函數，

∴不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＜0恒成立，等價于不等式f（mt2+1）＜f（mt﹣1）恒成立，

∵f（x）在R上是減函數，

∴對任意的t∈R，mt2+1＞mt﹣1恒成立，

整理，得：mt2﹣mt+2＞0對任意的t∈R恒成立，

當m=0時，不等式為2＞0恒成立，符合題意；

當m≠0時， ，解得0＜m＜8．

綜上，實數m的取值范圍為[0，8）

【解析】（1）由奇函數性質得f（﹣x）= =﹣f（x）= ，由此能求出a的值．（2） ，在（﹣∞，+∞）上是單調遞減函數．令2x=t，由定義法能證明f（x）在（﹣∞，+∞）上是單調遞減函數．（3）不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＜0恒成立，等價于不等式f（mt2+1）＜f（mt﹣1）恒成立，由f（x）在R上是減函數，得對任意的t∈R，mt2+1＞mt﹣1恒成立，由此能求出實數m的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用奇偶性與單調性的綜合，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性即可以解答此題．