Question

【題目】已知f（x）為定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=1﹣x2 ．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）作出函數f（x）的圖象．
（3）若函數f（x）在區間[a，a+1]上單調，直接寫出實數a的取值范圍．（不必寫出演算過程）

Answer 1

【答案】
（1）解：1°因為函數是奇函數，所以x=0時，f（0）=0

2°設x＜0，則﹣x＞0，根據當x＞0時，f（x）=1﹣x2，得f（﹣x）=1﹣（﹣x）2=1﹣x2

∵f（x）為定義在R上的奇函數

∴f（x）=﹣f（﹣x）=x2﹣1

綜上：

（2）解：當x＞0時，函數圖象為開口向下拋物線的右側，當x＜0時，函數圖象為開口向上拋物線的左側，

并且f（0）=0，由此可得函數圖象如右圖

（3）解：根據（2）的函數圖象，可得當[a，a+1]（﹣∞，0）時，函數函數f（x）在區間[a，a+1]上是減函數；

當[a，a+1]（0，+∞）時，函數f（x）在區間[a，a+1]上是增函數．

解之得：a＜﹣1或a＞0

【解析】（1）根據奇函數的性質可得f（0）=0，再設x＜0，根據函數的表達式結合函數為奇函數的性質得f（x）=﹣f（﹣x）=x2﹣1，最后綜合可得函數f（x）的表達式；（2）當x＞0時，函數圖象為開口向下拋物線的右側，當x＜0時，函數圖象為開口向上拋物線的左側，并且f（0）=0，由此可得函數圖象如圖；（3）對照（2）的函數圖象，可得當[a，a+1]（﹣∞，0）時或當[a，a+1]（0，+∞）時，函數f（x）在區間[a，a+1]上是單調函數，解之即得a的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數奇偶性的性質(在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)，還要掌握奇偶性與單調性的綜合(奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性)的相關知識才是答題的關鍵．