Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（其中為參數，且，在以為極點、軸的非負半軸為極軸的極坐標系（兩種坐標系取相同的單位長度）中，曲線的極坐標方程為，設直線經過定點，且與曲線交于、兩點．

（Ⅰ）求點的直角坐標及曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）求證：不論為何值時，為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直角坐標為，；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據題意,令直線的參數方程中即可求出點的直角坐標，整理化簡曲線的極坐標方程,結合,即可得到曲線的直角坐標方程;

（Ⅱ）將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，根據參數的幾何意義,利用韋達定理即可證明為定值.

（Ⅰ）因為直線的參數方程為（其中為參數，且，

所以當時，得點，即點的直角坐標為；

又曲線的極坐標方程為，

，，

，，

即曲線的直角坐標方程為；

（Ⅱ）證明：將直線的參數方程代入，

整理得，其中，

所以判別式△，

由韋達定理可得,，，

由參數方程中參數的幾何意義可得,

，

即不論為何值時，都為定值1．