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已知函數,,其中,為自然對數的底數.
(1)若處的切線與直線垂直,求的值;
(2)求上的最小值;
(3)試探究能否存在區間,使得在區間上具有相同的單調性?若能存在,說明區間的特點,并指出在區間上的單調性;若不能存在,請說明理由.

(1);(2) 
(3)當時,不能存在區間,使得在區間上具有相同的單調性;當時,存在區間,使得在區間上均為減函數.

解析試題分析:(1)切點處的導數值,即為切線的斜率,根據處的切線與直線垂直,斜率乘積為,建立的方程;
(2)遵循求導數、求駐點、討論區間單調性、確定極值(最值);
(3)求的定義域為,及導數 .     
根據時,,知上單調遞減.
重點討論的單調性.
注意到其駐點為,故應討論:
, ②的情況,作出判斷.
綜上,當時,不能存在區間,使得在區間上具有相同的單調性;當時,存在區間,使得在區間上均為減函數.
試題解析:(1),
處的切線與直線垂直,
                                                 3分
(2)的定義域為,且
,得.                                             4分
,即時,,上為增函數,;5分
,即時,,上為減函數,
;                                               6分
,即時,
由于時,;時,

練習冊系列答案
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已知函數f(x)=x3-3ax2+3x+1.
(1)設a=2,求f(x)的單調區間;
(2)設f(x)在區間(2,3)中至少有一個極值點,求a的取值范圍.

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已知函數,其中且m為常數.
(1)試判斷當時函數在區間上的單調性,并證明;
(2)設函數處取得極值,求的值,并討論函數的單調性.

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已知函數,其中為實數.
(1)當時,求函數在區間上的最大值和最小值;
(2)若對一切的實數,有恒成立,其中的導函數,求實數的取值范圍.

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根據統計資料,某工藝品廠的日產量最多不超過20件,每日產品廢品率與日產量(件)之間近似地滿足關系式(日產品廢品率).已知每生產一件正品可贏利2千元,而生產一件廢品則虧損1千元.(該車間的日利潤日正品贏利額日廢品虧損額)
(1)將該車間日利潤(千元)表示為日產量(件)的函數;
(2)當該車間的日產量為多少件時,日利潤最大?最大日利潤是幾千元?

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已知函數,其導函數的圖象經過點,,如圖所示.
(1)求的極大值點;
(2)求的值;
(3)若,求在區間上的最小值.

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已知函數在區間,上有極大值
(1)求實常數m的值.
(2)求函數在區間,上的極小值.

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已知某工廠生產件產品的成本為(元),
問:(1)要使平均成本最低,應生產多少件產品?
(2)若產品以每件500元售出,要使利潤最大,應生產多少件產品?

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已知函數.
⑴求函數處的切線方程;
⑵當時,求證:
⑶若,且對任意恒成立,求k的最大值.

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