已知函數,
,其中
,
為自然對數的底數.
(1)若在
處的切線
與直線
垂直,求
的值;
(2)求在
上的最小值;
(3)試探究能否存在區間,使得
和
在區間
上具有相同的單調性?若能存在,說明區間
的特點,并指出
和
在區間
上的單調性;若不能存在,請說明理由.
(1);(2)
(3)當時,不能存在區間
,使得
和
在區間
上具有相同的單調性;當
時,存在區間
,使得
和
在區間
上均為減函數.
解析試題分析:(1)切點處的導數值,即為切線的斜率,根據在
處的切線
與直線
垂直,斜率乘積為
,建立
的方程;
(2)遵循求導數、求駐點、討論區間單調性、確定極值(最值);
(3)求的定義域為
,及導數
.
根據時,
,知
在
上單調遞減.
重點討論的單調性.
注意到其駐點為,故應討論:
①, ②
的情況,作出判斷.
綜上,當時,不能存在區間
,使得
和
在區間
上具有相同的單調性;當
時,存在區間
,使得
和
在區間
上均為減函數.
試題解析:(1),
,
在
處的切線
與直線
垂直,
3分
(2)的定義域為
,且
.
令,得
. 4分
若,即
時,
,
在
上為增函數,
;5分
若,即
時,
,
在
上為減函數,
; 6分
若,即
時,
由于時,
;
時,
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數f(x)=x3-3ax2+3x+1.
(1)設a=2,求f(x)的單調區間;
(2)設f(x)在區間(2,3)中至少有一個極值點,求a的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
根據統計資料,某工藝品廠的日產量最多不超過20件,每日產品廢品率與日產量
(件)之間近似地滿足關系式
(日產品廢品率
).已知每生產一件正品可贏利2千元,而生產一件廢品則虧損1千元.(該車間的日利潤
日正品贏利額
日廢品虧損額)
(1)將該車間日利潤(千元)表示為日產量
(件)的函數;
(2)當該車間的日產量為多少件時,日利潤最大?最大日利潤是幾千元?
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知某工廠生產件產品的成本為
(元),
問:(1)要使平均成本最低,應生產多少件產品?
(2)若產品以每件500元售出,要使利潤最大,應生產多少件產品?
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