Question

【題目】定義在R上的函數f（x），f（0）≠0，f（1）=2，當x＞0，f（x）＞1，且對任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b）．
（1）求f（0）的值．
（2）求證：對任意x∈R，都有f（x）＞0．
（3）若f（x）在R上為增函數，解不等式f（3﹣2x）＞4．

Answer 1

【答案】
（1）解：令a=b=0，由f（a+b）=f（a）f（b），得f（0）=f2（0），

∵f（0）≠0，∴f（0）=1

（2）證明：當x＜0時，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞1，

∵f（0）=f（x﹣x）=f（x）﹣f（﹣x）=1，

∴f（x）= ∈（0，1），

又有x＞0，f（x）＞1，且f（0）=1，

∴對任意x∈R，都有f（x）＞0

（3）解：∵f（1+1）=f2（1）=22=4，且f（x）在R上為增函數，

∴f（3﹣2x）＞4可化為f（3﹣2x）＞f（2），

∴3﹣2x＞2，得x ．

∴不等式f（3﹣2x）＞4的解集為（﹣∞，﹣ ）

【解析】（1）在已知等式中取a=b=0可得f（0）的值；（2）當x＜0時，﹣x＞0，利用已知條件可得f（x）= ∈（0，1），結合已知可得答案；（3）由已知等式求得f（2）=4，則不等式f（3﹣2x）＞4等價于f（3﹣2x）＞f（2），利用單調性轉化為關于x的一次不等式求解．