【題目】如圖，在四棱錐
中，
是平行四邊形，
，
， 
，
，
，
分別是
，
的中點．
（Ⅰ）證明：平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】試題分析：
（Ⅰ）運用幾何法和坐標法兩種方法進行證明可得結論．（Ⅱ）運用幾何法和坐標法兩種方法求解，利用坐標法求解時，在得到兩平面法向量夾角余弦值的基礎上，通過圖形判斷出二面角的大小，最后才能得到結論．
試題解析：
解法一：（Ⅰ）取
中點
，連
，
∵
，
∴
，
∵
是平行四邊形，
，
，
∴
，
∴
是等邊三角形，
∴
，
∵
，
∴
平面
，
∴
.
∵
分別是
的中點，
∴
∥
，
∥
，
∴
，
，
∵
，
∴平面
，
∵
平面
，
∴平面
平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
∴
是二面角
的平面角.
, 
，
，
在
中，根據余弦定理得
，
∴二面角的余弦值為
．
解法二：（Ⅰ）∵是平行四邊形，，
，∴
，
∴
是等邊三角形，∵
是
的中點，
∴
，∵
∥，
∴
.
以
為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.
則
，
，
，
，
，
設
，由
，
，
可得
，
，
，
∴
，
∵
是
的中點，∴
，
∵
，
∴
，
∵，
，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
．
設
是平面的法向量，
由
，得
，
令
，則
．
又
是平面
的法向量，
∴
，
由圖形知二面角
為鈍角，
∴二面角的余弦值為.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對某校高三年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數，根據此數據作出了頻數與頻率的統計表和頻率分布直方圖如下：
（1）求出表中M，p及圖中a的值；
（2）若該校高三學生有240人，試估計高三學生參加社區服務的次數在區間(10,15)內的人數；
（3）在所取樣本中，從參加社區服務的次數不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區服務次數在區間[25,30)內的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
過點
，其參數方程為
（
為參數，
），以
為極點，
軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）求已知曲線和曲線交于
兩點，且
，求實數
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2017年12月，針對國內天然氣供應緊張的問題，某市政府及時安排部署，加氣站采取了緊急限氣措施，全市居民打響了節約能源的攻堅戰.某研究人員為了了解天然氣的需求狀況，對該地區某些年份天然氣需求量進行了統計，并繪制了相應的折線圖.
（Ⅰ）由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合年度天然氣需示量
(單位：千萬立方米)與年份
(單位：年)之間的關系.并且已知關于的線性回歸方程是
，試確定
的值，并預測2018年該地區的天然氣需求量；
（Ⅱ）政府部門為節約能源出臺了《購置新能源汽車補貼方案》，該方案對新能源汽車的續航里程做出了嚴格規定，根據續航里程的不同，將補貼金額劃分為三類，A類：每車補貼1萬元，B類：每車補貼2.5萬元，C類：每車補貼3.4萬元.某出租車公司對該公司60輛新能源汽車的補貼情況進行了統計，結果如下表：
類型 |
|
|
|
車輛數目 | 10 | 20 | 30 |
為了制定更合理的補貼方案，政府部門決定利用分層抽樣的方式了解出租車公司新能源汽車的補貼情況，在該出租車公司的60輛車中抽取6輛車作為樣本，再從6輛車中抽取2輛車進一步跟蹤調查.若抽取的2輛車享受的補貼金額之和記為“
”，求的分布列及期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，
、
分別為橢圓
的左、右頂點，點
滿足
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線
經過點
且與交于不同的兩點
、
，試問：在
軸上是否存在點
，使得直線 
與直線
的斜率的和為定值？若存在，請求出點的坐標及定值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)=ex-x2+a,x∈R的圖象在x=0處的切線方程為y=bx.(e≈2.718 28)
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)當x∈R時,求證:f(x)≥-x2+x;
(3)若f(x)>kx對任意的x∈(0,+∞)恒成立,求實數k的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為菱形， 
平面
， 
， 
， 
， 
分別是
， 
的中點.
（1）證明： 
；
（2）設
為線段
上的動點，若線段
長的最小值為
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】試題分析：（1）證明線線垂直則需證明線面垂直，根據題意易得
，然后根據等邊三角形的性質可得
，又
，因此
得
平面
，從而得證（2）先找到EH什么時候最短，顯然當線段
長的最小時， 
，在
中， 
， 
， 
，∴
，由
中， 
， 
，∴
.然后建立空間直角坐標系，寫出兩個面法向量再根據向量的夾角公式即可得余弦值
解析：（1）證明：∵四邊形
為菱形， 
，
∴
為正三角形.又
為
的中點，∴
.
又
，因此
.
∵
平面
， 
平面
，∴
.
而
平面
， 
平面
且
，
∴
平面
.又
平面
，∴
.
（2）如圖， 
為
上任意一點，連接
， 
.
當線段
長的最小時， 
，由（1）知
，
∴
平面
， 
平面
，故
.
在
中， 
， 
， 
，
∴
，
由
中， 
， 
，∴
.
由（1）知
， 
， 
兩兩垂直，以
為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又
， 
分別是
， 
的中點，
可得
， 
， 
， 
，
， 
， 
，
所以
， 
.
設平面
的一法向量為
，
則
因此
，
取
，則
，
因為
， 
， 
，所以
平面
，
故
為平面
的一法向量.又
，
所以
.
易得二面角
為銳角，故所求二面角的余弦值為
.
【題型】解答題
【結束】
20
【題目】【2018湖北七市（州）教研協作體3月高三聯考】已知橢圓
： 
的左頂點為
，上頂點為
，直線
與直線
垂直，垂足為
點，且點
是線段
的中點．
（I）求橢圓
的方程；
（II）如圖，若直線
： 
與橢圓
交于
， 
兩點，點
在橢圓
上，且四邊形
為平行四邊形，求證：四邊形
的面積
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于下列四個命題:
p1:x0∈(0,+∞),
;
p2:x0∈(0,1),lo
x0>lo
x0;
p3:x∈(0,+∞),
<lox;
p4:x∈
<lox.
其中的真命題是( )
A. p1,p3 B. p1,p4
C. p2,p3 D. p2,p4
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