Question

【題目】設函數。

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的單調遞減區間和極小值（其中為自然對數的底數）；

（2）若對任意恒成立，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間為，極小值為2（2）

【解析】試題分析：（1）因為切線的斜率為0，所以由導數幾何意義得，求導列式，得，從而導函數零點為，列表分析區間符號得在上單調遞減，在上單調遞增，再由極值定義知當時， 取得極小值．（2）分類變量得，因此構造函數則在上單調遞減，也即在上恒成立，再分類變量得得最大值，因此

試題解析：（1）由條件得，

∵曲線在點處的切線與直線垂直，∴此切線的斜率為0，即，有，得，

∴，由得，由得．

∴在上單調遞減，在上單調遞增，當時， 取得極小值．

故的單調遞減區間為，極小值為2

（2）條件等價于對任意恒成立，

設．

則在上單調遞減，

則在上恒成立，

得恒成立，

∴（對僅在時成立），

故的取值范圍是