Question

【題目】已知函數 （a∈R）
（1）討論f（x）在（0，+∞）上的單調性；
（2）若對任意的正整數[﹣1，1）都有 成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，

當a 時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

當- ＜a＜0時，f（x）在（0， ）上單調遞減，在（ ，+∞）上單調遞增；

當a≥0時，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞減．

（2）解： ＞0．

令g（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，x∈（0，1]，故要上式成立，只需對x∈（0，1]，有g（x）＞0．

g′（x）=f（x）=﹣aln（x+1）+ ﹣a﹣1．

由（1）可知，

①當 時，g（x）在（0，1]上單調遞增，g（x）＞g（0）=0，符合題意；

②當a≥0，g（x）在（0，1]上單調遞減，g（x）＜g（0）=0，不符合題意；

③當- ＜a 時，g（x）在（0， ）上單調遞減，∴當x∈（0，﹣ ）時，g（x）＜g（0），不符合題意；

④當 ＜a＜0時，g（x）在（0，1]上單調遞減，∴當x∈（0，1]時，g（x）＜g（0）=0，不符合題意．

綜上可知，a的取值范圍為（﹣∞，﹣ ]

【解析】（1）求出原函數的導函數，然后對a分類求得導函數的符號，從而得到原函數的單調性；（2）把 ，轉化為 ＞0．令g（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，x∈（0，1]，故要上式成立，只需對x∈（0，1]，有g（x）＞0． g′（x）=f（x）=﹣aln（x+1）+ ﹣a﹣1．結合（1）中函數的單調性分類求解得答案．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．