Question

【題目】已知函數 是 的導函數， 為自然對數的底數．
（1）討論 的單調性；
（2）當 時，證明： ；
（3）當 時，判斷函數 零點的個數，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對函數 求導得 ，

，

①當 時， ，故 在 上為減函數；

②當 時，解 可得 ，故 的減區間為 ，增區間為 ；

（2）

，設 ，則 ，

易知當 時， ，

；

即g（ ）＞0.

（3）

由（1）可知，當 時， 是先減再增的函數，

其最小值為 ，

而此時 ，且 ，故 恰有兩個零點 ，

∵當 時， ；當 時， ；當 時，

，

∴ 在 兩點分別取到極大值和極小值，且 ，

由 知 ，

∴ ，

∵ ，∴ ，但當 時， ，則 ，不合題意，所以 ，故函數 的圖象與 軸不可能有兩個交點.

∴函數 只有一個零點.

【解析】（1）g（x）是f（x）的導函數，討論g（x）的單調性，可考慮二階求導；（2）利用導數表示出單調性，根據單調性進行證明；（3）根據g（x）大致判斷f（x）的單調性，并計算出極值點，將極值點代入f（x）中，判斷f（x）零點的個數。
【考點精析】認真審題，首先需要了解基本求導法則(若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導)．