Question

【題目】已知函數f（x）=loga（x+1），函數g（x）=loga（4﹣2x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函數y=f（x）﹣g（x）的定義域；
（2）求使函數y=f（x）﹣g（x）的值為正數的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，函數f（x）=loga（x+1），函數g（x）=loga（4﹣2x）（a＞0，且a≠1）．

那么：函數y=f（x）﹣g（x）=loga（x+1）﹣loga（4﹣2x）

定義域滿足： ，

解得：﹣1＜x＜2．

∴函數y=f（x）﹣g（x）的定義域是（﹣1，2）

（2）解：函數y=f（x）﹣g（x）的值為正數，即f（x）＞g（x）

可得：loga（x+1）＞loga（4﹣2x）

當a＞1時，可得：x+1＞4﹣2x，

解得：x＞1．

又∵定義域：﹣1＜x＜2．

∴解集為（1，2）

當0＜a＜1時，可得：x+1＜4﹣2x，

解得：x＜1．

又∵定義域：﹣1＜x＜2．

∴解集為（﹣1，1）

綜上所述：當a＞1時，x的取值范圍是（1，2）；

當0＜a＜1時，x的取值范圍是（﹣1，1）

【解析】（1）根據對數的真數要大于0，寫出滿足函數有意義的不等式組求解即可．（2）將等式轉化為不等式問題求解．
【考點精析】通過靈活運用函數的定義域及其求法和函數的值域，掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的即可以解答此題．