Question

【題目】如圖，在四棱錐O﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA中點．
（1）求證：直線BD⊥平面OAC；
（2）求直線MD與平面OAC所成角的大小；
（3）求點A到平面OBD的距離．

Answer 1

【答案】解：（1）由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD．
∵底面ABCD是邊長為1的正方形
∴BD⊥AC，又AC∩OA=A，∴BD⊥平面OAC
（2）設AC與BD交于點E，連結EM，則∠DME是直線MD與平面OAC所成的角,
∵MD=，DE=
∴直線MD與平面OAC所成的角為30°
（3）作AH⊥OE于點H．
∵BD⊥平面OAC
∴BO⊥AH
線段AH的長就是點A到平面OBD的距離．
∴AH=
∴點A到平面OBD的距離為
【解析】（1）直接證明直線BD垂直平面內的兩條相交直線即可利用判定定理證明結果．
（2）設AC與BD交于點E，連結EM，則∠DME是直線MD與平面OAC所成的角，通過解三角形求解即可．
（3）作AH⊥OE于點H．說明線段AH的長就是點A到平面OBD的距離，利用三角形相似求解即可．
【考點精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．