2、求最值問題的步驟是什么？（先求極值，再與端點值比較得到最值）

問題：如何應用？又如何求實際問題的最值？

   例1、把長為60cm的鐵絲圍成矩形，長、寬各為多少時矩形的面積最大？

解：設長為xcm,則寬為30-xcm，0<x<30

[方法一]S=x(30-x)=-x²+30x,是x的二次函數當x=-=15時，S最大

答：長、寬都為15cm時，矩形的面積最大

[方法二]S=x(30-x)≤=225，等號成立x=30-xx=15

答：長、寬都為15cm時，矩形的面積最大

[方法三]S= x(30-x)=-x²+30x,S^/=-2x+30,0<x<15時S^/>0,S(x)↑；x>15時S^/<0,S(x)↓；∴當x=15時，S極大，在定義域內無其他極值，故S最大   

答：長、寬都為15cm時，矩形的面積最大

說明1：解應用題一般有四個要點步驟：設――列――解――答

說明2：用導數法求函數的最值，與求函數極值方法類似，加一步與幾個極值及端點值比較即可。

變形1：把長為60cm的鐵絲分成兩段，各圍成一個正方形，怎樣分法能使正方形面積和最��？（均30cm）

變形2：把長為60cm的鐵絲分成兩段，一個圍成一個正方形，另一個圍成圓，怎樣分法能使正方形和圓的面積和最��？（一段為）

例2、有一個容積為256m³的方底無蓋水箱，它的高為多少時，用料最��？

解：設高為h, 底面邊長為x，則x²h=256,表面積S=x²+4xh=x²+,S^/=2x-= x>8時S^/>0,S(x)↑；0<x<8時S^/<0,S(x) ↓,在x>0上只有一個極小值，故x=8時S最小此時h=4

答：高為4m時，用料最省

練習：在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿折起，做成一個無蓋的方底鐵皮箱。當箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？（40cm,16000cm³）

例3、如圖所示的電路圖中，已知電源的內阻為r,電動勢為E。當外電阻R多大時，才能使電功率最大？最大電功率是多少？

解：電功率P=I²R,其中I=為電流強度，則P=()²R=(R>0),

[方法一]P^/=E²=E²,R>r時P^/<0函數單調減，R<r時P^/>0函數單調增，而且僅有一個極值，故R=r時，P最大，最大值為

答：外電阻R=r時，電功率最大,最大電功率是

 [方法二]P==≤=，等號成立R=R=r

答：外電阻R=r時，電功率最大,最大電功率是

[方法三] P=，PR²+(2rP-E²)R+Pr²=0在R>0上有解，△=（2rP-E²）²-4P²r²≥0,P≤，

此時R=r

答：外電阻R=r時，電功率最大,最大電功率是

說明：求最值要注意驗證等號成立的條件，也就是說取得這樣的值時對應的自變量必須有解

練習：已知在某點的照度與光的強度成正比，與距光源的距離的平方成反比。強度分別為a,b的兩個光源A,B的距離為d,問在連接兩個光源的線段AB上，何處照度最��？

2、用導數法求函數的最值，與求函數極值方法類似，加一步與幾個極值及端點值比較即可，注意取最值時對應的自變量必須有解。

[補充習題B]

1、要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則其高應為_____

2、如圖，某農場要修建3個養魚塘，每個面積為10 000米²，魚塘前面要留4米的運料通道，其余各邊為2米寬的堤埂，則占地面積最少時，每個魚塘的長寬分別為 _____

3、如圖,將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個無蓋的正六棱柱容器．當這個正六棱柱容器的底面邊長為_______時,其容積最大．

4、已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另外兩個頂點位于拋物線y=4-x²在x軸上方的曲線上，求這種矩形面積最大時的邊長

[C]組5、從邊長2a的正方形鐵片的四個角各截一個邊長為x的正方形，然后折成一個無蓋的長方體盒子，要求長方體的高度x與底面正方形邊長的比不超過正常數t .

（Ⅰ）把鐵盒的容積V表示為x的函數，并指出其定義域；

（Ⅱ）x為何值時，容積V有最大值.

 [答案]1、;  2、長150米，寬米；3、；4、分別為、

5、解：（Ⅰ）由已知正方形的長為2a-2x,高為x，

（Ⅱ）

x

V′

+

0

－

[教后感想與作業情況]

1.4導數在實際生活中的應用(2)____單峰函數的最值

[教學目標]

[重點、難點]單峰函數求最值的步驟與方法

[教學流程]

思考問題：每個問題這樣進行，能否進一步簡化？

例1、某種圓柱形飲料溶積V一定，如何確定其高與底面半徑，才能使它的用料最��？

解：設圓柱的高為h,底面半徑為R，則V=πR²h,表面積S(R)=2πRh+2πR²=2(+πR²)(R>0),S^/(R)=-+4πR=0,解得R=,h=2即h=2R,∵S(R)在定義域內僅有一個極小值∴它就是最小值

答：當高與罐底直徑相等時，用料最省

說明1：這種在定義域內僅有一個極值的函數稱單峰函數

說明2：用導數法求單峰函數最值，可以對一般的求法加以簡化，其步驟為：

S1:列：列出函數關系式

S2:求：求函數的導數

S3:述：說明函數在定義域內僅有一個極大（�。┲�，從而斷定為函數的最大（�。┲担�必要時作答

練習：一個底面半徑為R,高為h的圓錐，求其內接圓柱體積的最大值（R²h）

例2、甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時．已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：

_{可變部分與速度 v (千米/時)的平方成正比、比例系數為b；固定部分為a元}

_{I．把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數，并指出這個函數的定義域}

_{II．為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？}

解：（Ⅰ）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為，全程運輸成本為 故所求函數及其定義域為

(Ⅱ)依題意知S，a，b，v都為正數，y^/=S(-+b)=S=(v-)(v+)=0 ；若，函數在僅有一個極小值，則當時，全程運輸成本y最小， y↑，當v=c時，全程運輸成本y最�。�

答：為使全程運輸成本y最小，當時行駛速度應為；當時行駛速度應為v=c．

例3、在經濟學中，生產x單位產品的成本稱為成本函數，記為C(x),出售x單位產品的收益稱為收益函數，記為R(x),R(x)-C(x)稱為利潤函數，記為P(x)

(1)若C(x)=10^-6x³-0.003x²+5x+1000,那么生產多少單位產品時，邊際成本C^/(x)最低？

(2)如果C(x)=50x+10000,產品的單價p=100-0.01x,那么怎樣定價可以使利潤最大？

解：(1)C^/(x)=3×10^-6x²-0.006x+5=g(x),g^/(x)=6×10^-6x-0.006=0,x=1000,而g(x)在x>0上僅有一個極小值，故x=1000時邊際成本最低

1、做一個圓柱形鍋爐，容積為V，兩個底面的材料每單位面積的價格為a元，側面的材料每單位面積價格為b元，當造價最低時，鍋爐的直每徑與高的比為（      ）

2、過拋物線y=x²-3x上一點P的切線的傾斜角為45°，它與兩坐標軸交于A，B兩點，則△AOB的面積是                 ．

3、在半徑為的半圓內作一內接矩形，使其底為直徑，其他三邊為圓的弦，則梯形面積最大時，梯形上底長為_________

4、海輪每小時使用的燃料費與它的航行速度的立方成正比，已知某海輪的最大航速為30海里/小時，當速度為10海里/小時時，它的燃料費是每小時25元，其余費用（無論速度如何）都是每小時400元，如果甲乙兩地相距800海里，則要使該海輪從甲地航行到乙地的總費用最低，它的航速應為__________

5、某工廠生產某種產品,已知該產品的月生產量x(t)與每噸產品的價格p(元/t)之間的關系式為:p=24200－x²,且生產x t的成本為:R=50000+200x(元).問該產品每月生產多少噸才能使利潤達到最大?最大利潤是多少?(利潤=收入－成本)

[C組]

6、在長為100千米的鐵路線AB旁的C處有一個工廠，工廠與鐵路的距離CA為20千米.由鐵路上的B處向工廠提供原料，公路與鐵路每噸千米的貨物運價比為5∶3，為節約運費，在鐵路的D處修一貨物轉運站，設AD距離為x千米，沿CD直線修一條公路(如圖).

(1)將每噸貨物運費y(元)表示成x的函數.

(2)當x為何值時運費最��？

答案

1、b/a ；2、8;3、r；4、20海里/小時

5、解:每月生產x噸時的利潤為f(x)=(24200－x²)x－(50000+200x)

=－x³+24000x－50000(x≥0).                                       

由f′(x)=－x²+24000=0,解得x₁=200,x₂=－200(舍去).                     

∵f(x)在［0,+∞)內只有一個點x₁=200使f′(x)=0,

∴它就是最大值點.f(x)的最大值為f(200)=3150000(元).

∴每月生產200 t才能使利潤達到最大,最大利潤是315萬元

6、(1)設公路與鐵路每噸千米的貨物運價分別為5k、3k(元)(k為常數)AD=x，則DB=100－x.

∴每噸貨物運費y=(100－x)?3k+?5k(元)

(2)令y′=－3k+5k??k=0

∴5x－3=0∵x>0，∴解得x=15當0<x<15時，y′<0;當x>15時，y′>0

∴當x=15時，y有最小值.       答：當x為15千米時運費最省

[教后感想與作業情況]