2、平拋運動的方程：

這些方程有什么共同點？

二、歸結：

 1、定義：一般地，在平面直角坐標系內，曲線C上任意一點P(x,y)可以表示為某個變量t 的函數；反之，對于t的每個允許值，所確定的點P(x,y)在曲線C上，則稱曲線C的方程，變量t叫參變數，簡稱參數

2、典型例題

   例1、若是曲線C的參數方程，f(t)、g(t)分別是偶函數、奇函數，則曲線C一定關于________對稱？

解：(x,y)∈C，t使    ∵f(-t)=x,g(-t)=-g(t)=-y∴(x,-y)∈C，于是曲線C關于x軸對稱

例2、以O為圓心，分別以a,b為半徑(a>b>0)作兩個圓，自O作一射線分別交兩圓于M、N兩點，MT⊥OX于T，NP⊥MP于P，求點P的軌跡方程

解：設P(x,y),∠TOM=θ，則x=OT=OMcosθ=acosθ,y=SN=ONsinθ=bsinθ,所以軌跡的參數方程為

說明：消去θ得，表明是一個橢圓，所以橢圓的參數方程為，θ為參數，稱離心角，注意θ不是直線OP的傾斜角

練習1：對于橢圓，θ為參數，(1)求θ=時點的坐標及該點與原點連線的斜率

(2)若直線OP的傾率為，P在橢圓上，求點P的坐標。(3)點(x,y)在橢圓上，求4x+4y的范圍

例3、已知圓O：x²+y²=r²(r>0),LM為平行于直徑AB的半弦，BL∩OM=P，選擇適當的參數，求點P的參數方程

     解：設OM的斜率為k,P(x,y),則y=kx,又M(,L(0, ),直線LB:與y=kx聯立得，k為參數

  思考：求一條曲線的參數方程時，常見的參數有哪些？

（幾何參數：角、斜率、坐標；物理參數：時間、路程等）

[情況反饋]

                         第二課時     參數方程與普通方程的互化

[教學目的]

[教學重點、難點] 參數方程與普通方程的互化中等價轉化問題

[教學過程]

例1、將下列以t為參數參數方程化成普通方程，并說明曲線的形狀

(1)（p>0）   (2)(t∈)   (3)

解：(1)將t=代入x的表達式得x=2p()²y²=2px,表示的是以(,0)為焦點以x=-為準線的拋物線

   說明1：將參數方程化成普通方程，關鍵在于消去參數，此過程稱消參，以上通過一個式子解出參數再代入另一式子的方法稱代入法

   說明2：對于拋物線y²=2px上任意一點P(x,y),直線OP的斜率為k,則y=2p,x=2p,所以這里參數t的幾何意義是拋物線上的點與原點連線斜率的倒數

   (2)將x=sint代入y的解析式得到y=1-x²,注意-1≤x≤1，從而方程為y=1-x²  (-1≤x≤1)，表示圖形為拋物線的一段

說明：參數方程化成普通方程，變量的范圍不應有絲毫變化；轉化后如果是函數，可以只注定義域，否則都加注，不注意味著式子有意義的一切值

 （3）ab≠0時，=，=，兩式平方相減得表示雙曲線

ab=0時，有a=0或b=0

a=0,b≠0時，方程為x=0,表示一條直線

a≠0,b=0時，方程為y=0(x≥2或x≤-2)，表示兩條射線

a=b=0時，方程為x=y=0表示坐標原點

練習：將下列參數方程化成普通方程

(1) (t為參數)   (x²+y²-2x=0)  

(2)，θ為參數，          （x²=y+1(|y|≤1)）

(3), θ為參數              （點(±1，0)）

例2、寫出過P(x₀,y₀),傾斜角為α的直線的參數方程

解：設P(x,y)是直線上任意一點，有向線段P₀P的數量為t，則x-x₀=tcosα，y-y₀=tsinα,所以參數方程為，t為參數，t的幾何意義是定點P₀到動點P的數量

思考：直線l上有兩點P₁、P₂，對應的參數分別為t₁,t₂,則|P₁P₂|=________(|t₂-t₁|)

練習：求經過點P(1,-5),傾斜角為的直線的參數方程，并求此直線與直線x-y-2=0的交點到P的距離（教材54頁第6題）

例3、選擇適當的參數，寫出方程(x-a)²+(y-b)²=r²的參數方程，其中r>0

解：，α為參數，幾何意義旋轉角

說明：參數不同，曲線的形狀也不一定相同，同一曲線，由于參數不同方程也不盡相同；所以寫參數方程時，一定要注明誰是參數

2、拋物線、直線、圓參數方程及其幾何意義

3、不作特殊申明，曲線方程要寫成普通方程，因為參數方程不惟一

[補充習題]求教材習題第六題中原點到直線的距離

[情況反饋]

                     第三課時     參數方程的應用

[教學目標]

[教學難點、重點]參數方程的應用

[教學過程]

2、常見的參數方程：直線、圓、橢圓、拋物線，指出圓與橢圓參數方程可以按代換方法得到

例1、已知M是橢圓（a>b>0）上在第一象限的點，A(a,0)和B(0,b)是橢圓的兩個頂點，O為原點，求四邊形MAOB面積的最大值（教材例1）

解：設M(acosθ,bsinθ)，0<θ<,S_{四邊形MAOB}=S_△MAO+S_△MOB=OAy_M+OBx_M=ab(sinθ+cosθ)

=,當θ=時，四邊形MAOB面積的最大值為

   練習：求橢圓內接矩形面積的最大值（可以用普通方程和參數方程兩個比較進行）

例2、OA是圓C的直徑，OA=2a，射線OB與圓交于Q點，和經過A點的切線交于B點，作PQ⊥OA，PB∥OA，求點P的軌跡方程

解：[方法一]設P(x,y)是軌跡上任意一點，取∠DOQ=θ，由已知

x=OD=OQ.cosθ=OA.cosθ=2acos²θ，y=AB=OA.tanθ=2a.tan2θ,故P點的參數方程為

，化為普通方程為y²=4a²(-1)

[方法二]設軌跡上一點為P(x,y)，設直線OB的方程為y=kx,則圓C：x²+y²-2ax=0,可以解得B(2a,2ak),Q(,),從而P(，2ak), 所求的參數方程為，化為普通方程為y²=4a²(-1)

例3、如圖是用鼻壩進行挑流的示意圖。已知水庫的水位與鼻壩的落差為9米，鼻壩的鼻壩坎角為30⁰，鼻壩下游的基底比鼻壩低18米，求挑出水流的軌跡方程，并計算挑出的水流與鼻壩壩基的水平距離

解：建立如圖直角坐標系，設軌跡上任意一點為P(x,y)，鼻壩出口書的水流速度為v==設時間t為參數，則，即y=,x∈[0,18],y=-18,得x=18

答：水流與鼻壩壩基的水平距離為18

[補充習題]

1、直線,t為參數被圓x²+y²=4截得的弦長為____________

2、若3x²+2y²=6x,則x²+y²的最大值為___________，最小值為_______________

3、橢圓，（θ為參數）上的點到直線x+y-13=0的最斷距離為__________

4、過拋物線y²=2px(p>0)的頂點作兩條互相垂直的弦OA、OB，求線段AB中點M的軌跡方程

[補充習題答案]

1、

2、4，0

3、4

4、y²=px-2p²

[情況反饋]