2004年湖南省高中數學競賽試題
一、選擇題:(本大題共10個小題;每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中, 有且只有一項是符合題目要求的)
1.已知函數f(x)是R上的奇函數,g(x)是R上的偶函數,若,則
( )
A. B.
C.
D.
2.有四個函數:① y=sinx+cosx ② y=
sinx-cosx
③ y= ④
其中在上為單調增函數的是 ( )
A.① B.② C.①和③ D.②和④
3.方程的解集為A(其中π為無理數,π=3.141…,x為實數),則A中所有元素的平方和等于 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
4.已知點P(x,y)滿足,則點P(x,y)所在區域的面積為
A.36π B.32π C.20π D.16π ( )
5.將10個相同的小球裝入3個編號為1、2、3的盒子(每次要把10個球裝完),要求每個盒子里球的個數不少于盒子的編號數,這樣的裝法種數為 ( )
A.9 B.12 C.15 D.18
6.已知數列{}為等差數列,且S5=28,S10=36,則S15等于 ( )
A.80 B.40 C.24 D.-48
7.已知曲線C:與直線
有兩個交點,則m的取值范圍是 ( )
A. B.
C.
D.
8.過正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1的截面面積為S,Smax和Smin分別為S的最大值和最小值,則的值為 ( )
A. B.
C.
D.
9.設,則x、y、z的大小關系為 ( )
A.x<y<z B.y<z<x C.z<x<y D. z<y<x
10.如果一元二次方程中,a、b分別是投擲骰子所得的數字,則該二次方程有兩個正根的概率P= ( )
A. B.
C.
D.
二、填空題(本大題共4個小題,每小題8分,共32分)
11.設P是橢圓上異于長軸端點的任意一點,F1、F2分別是其左、右焦點,O為中心,則
___________.
12.已知△ABC中,,試用
、
的向量運算式子表示△ABC的面積,即S△ABC=
____________________.
13.從3名男生和n名女生中,任選3人參加比賽,已知3人中至少有1名女生的概率為,則n=__________.
14.有10名乒乓球選手進行單循環賽,比賽結果顯示,沒有和局,且任意5人中既有1人勝其余4人,又有1人負其余4人,則恰好勝了兩場的人數為____________個.
三、解答題(本大題共5個小題,15-17題每小題12分,18題、19題每小題16分,共68分)
15.對于函數f(x),若f(x)=x,則稱x為f(x)的“不動點”,若,則稱x為f(x)的“穩定點”,函數f(x)的“不動點”和“穩定點”的集合分別記為A和B,即
}
.
(1). 求證:AB
(2).若,且
,求實數a的取值范圍.
16.某制衣車間有A、B、C、D共4個組,各組每天生產上衣或褲子的能力如下表,現在上衣及褲子要配套生產(一件上衣及一條褲子為一套),問在7天內,這4個組最多能生產多少套?
組
A
B
C
D
上衣(件)
8
9
7
6
褲子(條)
10
12
11
7
17.設數列滿足條件:
,且
)
求證:對于任何正整數n,都有
18.在周長為定值的△ABC中,已知|AB|=6,且當頂點C位于定點P時,cosC有最小值為.
(1).建立適當的坐標系,求頂點C的軌跡方程.
(2).過點A作直線與(1)中的曲線交于M、N兩點,求的最小值的集合.
19.已知三棱錐O-ABC的三條側棱OA、OB、OC兩兩垂直,P是底面△ABC內的任一點,OP與三側面所成的角分別為α、β、.
求證:
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