例1：(08四川延考)已知，為空間中一點，且，則直線與平面所成角的正弦值為         .

【解析】由對稱性點在平面內的射影必在的平分線上作于，連結_，則由三垂線定理，

設，則，，

_又,

所以，因此直線與平面所成角的正弦值_.

例2.（08年江蘇）若，，則的最大值為          .

【解析】由于是定值，為求其面積的最大值，只須求出頂點到邊的距離的最大值即可．而，說明點是運動變化的，那么它的軌跡是什么呢？到此我們的思維“進入了”解析幾何的領域.

如圖1，以點為坐標原點，以所在直線為軸，建立平面直角坐標系，則，，由題意不妨設點 在第一象限（），則由，得，即.

∴當時，，此時，

所以的最大值為.

【點評】本題直接用“形”有一定的難度，若利用“數”運算，建立直角坐標系求解，則問題利于解決．這正好體現出“數形結合”思想，也進一步驗證了華羅庚教授的“數缺形時少直觀，形少數時難入微”的數學思維典語．

一個結論在一般情形下成立，在特殊情形下必成立。填空題只要結果，不要過程，所以當填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可將填空題中的一般情形特殊化（將圖形、圖形的位置特殊化或給字母賦于特殊值等)再求解，這種解填空題的方法， 叫特殊化法。凡在一般情形下探求結論的填空題，都可用特例法。 

例3.（07年海南、寧夏）一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼接成一個三棱柱，這個四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側棱長相等，這個三棱錐的底面邊長與各側棱長也都相等．設四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為，，，則___________.

【解析】由于所求的為定值，所以可將三棱柱特殊化為直三棱柱.又三棱錐、四棱錐的底面邊長和側棱都相等，所以取三棱柱為各棱長都相等的正三棱柱.

設正三棱柱的各棱長為，則，，

∴.

例4.（07年江西）已知數列對于任意，有，若，則                             ．

【解析】由題意，得，，，，，∴，從而應當填.

【點評】我們知道，在中，取，得；取，得，等等．這種取特殊值的方法，顯示是由一般到特殊的思維方式．事實上，本題的數列當中，隱含了子數列是等比數列，你能寫出一般的通項公式嗎？

例5.（08年全國Ⅰ）在中，，．若以，為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率           ．

【解析】設，，則顯然半焦距，.

∵，∴.

由橢圓定義，得，∴，

故.

【點評】本題以三角形為載體考查橢圓的有關知識，一般先設，由求出(中含有參數)，然后利用橢圓的概念即可求出離心率，這屬常規解法．本解答取，，解題思路與常規方法一樣，但是由于將

取成常數，計算量降低了，這種解題方法屬賦特殊值法，在一定程度上能夠簡化運算，在復習備考中應該重視這種解題方法．

合理猜想，可以從特殊情形中發現規律，得出一般的正確結論. 合理猜想法多用于探索規律的一類題.

例6.(08年湖北)觀察下列等式：

……………………………………

可以推測，當（）時，，，__________，           .

【解析】觀察各個等式右邊最高次項的系數為：，，，，……，；各個等式右邊次高次項的系數為：，，，，……，；第三高次項的系數為：，( )，

（），( )，……，歸納得出；各個等式右邊第四高次項的系數為：，，，，……，歸納得出.

【點評】此題著重考查學生的觀察、歸納、猜測能力以及思維的敏捷性、靈活性．它要求學生善于根據問題的結構特征，從眾多的數學信息中提取、挖掘出有效的信息，靈活地運用有關的知識，映襯出相應的意象，找出有效的突破口，從而挖掘規律，發現規律，應用規律．

例7.(08年北京)某校數學課外小組在坐標紙上，為學校的一塊空地設計植樹方案如下：第棵樹種植在點處，其中，，當時，

表示非負實數的整數部分，例如，.按此方案，第6棵樹種植點的坐標應為________；第2008棵樹種植點的坐標應為________．

【解析】①當時,,則,解得；

②當時,,，則,解得；

③當時,,則,解得；

④當時,,，則,解得；

…………，如此類推。如通過觀察、歸納總結得出一般的規律為：

當（）時，第棵樹種植在點為，于是當時，，從而第2008棵樹種植點的坐標應為.

【點評】此題是將周期數列加以變更、遷移、整合而成，有創意，有新意，給學生探索問題提供了廣闊的空間和自由度，特別對學生觀察、歸納、猜測、綜合分析等能力以及耐心、毅力得到全面的考查，有利于甄別學生的思維層次和數學素養 ．本題要求學生善于根據問題的結構特征，從眾多的信息中提取、挖掘出有效的信息，從而找出問題的切入點，開啟成功之門．

根據試題的特點，找出其幾何意義，畫出符合題意的輔助圖形，借助圖形的直觀性進行分析探究，得出正確結論.這是一種數形結合的解題策略，在填空題中有著廣泛的應用.

例8.設等差數列的前項和為，若，，則的最大值為________.

【解析】由已知得，∴.

在坐標系中分別作出直線，，得可行域及兩直線的交點.設目標函數，作直線：，當平移直線經過點時，有最大值5，即的最大值為5，選B.

【點評】若試題給出的是單純的線性規劃問題，則百味全無.而命題者悄悄地將換成，同學們在解題過程中必須看透這一伎倆，將數列問題轉化為線性規劃問題，頓覺簡單異常.本題設計遵循基礎與能力并重，知識與能力并舉的原則，意在考查等差數列的通項公式、前項和公式以及不等式性質等知識,但實在考查數形結合的思想方法．

【總結提煉】綜上，我們主要介紹了填空題幾種常見的解法，當然解法會很多，所以我們要在平時注意發現、探索、總結，小題終究是小題，只要多思考，多挖掘新方法、巧方法，那我們解題時才有事半功倍的效果.

3.跟蹤練習：

1.設是和的等比中項，則的最大值為__________.

2.函數在上的最大值為_____________.

3.已知函數（）的圖象過點，若有4個不同的正數滿足，且（），則_________.

4.若、滿足條件（），則的最大值為__                                                                                                                                           

5.有20張卡片上分別寫有數字1 ，2 ，……，20 ，將它們放入一個盒子內. 有4 個人從中不放回地各抽取一張卡片，抽到兩個較小數字的兩人在同一組，抽到兩個較大數字的兩人在同一組. 現其中有兩人抽到5、14 ，則此兩人在同一組的概率等于__________(用最簡分數作答).

6.已知三個正數，，滿足條件，則的最小值為______.