湖北省八市2009年高三年級三月調考

數學（理科）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請將答案填在答題卷相應位置上。

1．設集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x＞1}，那么“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的

A．充分不必要條件                                          B．必要不充分條件

C．充要條件                                                    D．既不充分也不必要條件

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2．若(1+5x)n的展開式中各項系數之和為an，(7x2＋1)n的展開式中各項的二項式系數之和為bn，則的值是

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A．                                B．                     C．1                      D．－

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3．Sn為等差數列{an}的前n項和，S9＝－36，S13＝－104，等比數列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，則b6等于

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A．                            B．±              C．±             D．32

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4．給出下列四個命題：

①若直線l⊥平面α，l∥平面β，則α⊥β；

②各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；

③一個二面角的兩個半平面所在平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面所在平面，則這兩個二面角的平面角互為補角；

④過空間任意一點一定可以作一個和兩條異面直線都平行的平面。

其中正確的命題的個數有

A．1                                  B．2                       C．3                      D．4

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5．某一批袋裝大米，質量服從正態分布N(10，0.01)(單位：kg)，任選一袋大米，它的質量是9.8kg～10.2kg內的概率為(已知Φ(1)＝0.8413，Φ(2)＝0.9772)

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A．0.8413                         B．0.9544              C．0.9772             D．0.6826

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6．已知正數x、y滿足等式x＋y－2xy＋4＝0，則

A．xy的最大值是2，且x＋y的最小值為4         B．xy的最小值是4，且x＋y的最大值為4

C．xy的最大值是2，且x＋y的最大值為4         D．xy的最小值是4，且x＋y的最小值為4

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7．在航天員進行的一項太空實驗中，先后要實施6個程序，其中程序A只能出現在第一步或最后一步，程序B和C實施時必須相鄰，請問實驗順序的編排方法共有

A．24種                            B．48種                  C．96種                 D．144種

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8．已知函數f (x)＝xln(ax)＋ex－1在點(1，0)處切線經過橢圓4x2＋my2＝4m的右焦點，則橢圓兩準線間的距離為

A．6                                  B．8                       C．10                    D．18

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9．已知點F1、F2分別是雙曲線=1的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若A、B和雙曲線的一個頂點構成的三角形為銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是

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A．(1,1+)                    B．(1,)              C．(－1,1+)     D．(1,2)

20080504

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10．已知函數f (x)＝，若方程f (x)＝x＋a有且只有兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是

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A．                        B．                C．            D．

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二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。

11．已知復數z1＝3－i，z2＝2i－1，是z的共軛復數，則復數的虛部等于_____。

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12．一個半徑為1的球內切于正三棱柱，則該正三棱柱的體積為__________。

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13．已知x、y滿足條件( k為常數)，若z＝x＋3y的最大值為8，則k＝__________。

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14．在三角形ABC中，，M為BC邊的中點，則中線AM的長為__________，△ABC的面積的最大值為__________。

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15．在數列{an}中，都有( p為常數)，則稱{an}為“等方差數列”。下列是對“等方差數列”的判斷：

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⑴數列{an}是等方差數列，則數列是等差數列；

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⑵數列是等方差數列；

⑶若數列{an}既是等方差數列，又是等差數列，則該數列必為常數列；

⑷若數列{an}是等方差數列，則數列{akn}( k為常數，k∈N*)也是等方差數列，則正確命題序號為______。

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三、解答題：

16．已知向量，，且x∈[0，]；

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⑴求及；  ⑵若f (x)＝，求f (x)的最大值與最小值．

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17．下面玩擲骰子放球游戲，若擲出1點或6點，甲盒放一球；若擲出2點，3點，4點或5點，乙盒放一球，設擲n次后，甲、乙盒內的球數分別為x、y．

⑴當n＝3時，設x＝3，y＝0的概率；

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⑵當n＝4時，設，求ξ的分布列及數學期望Eξ．

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18．（本小題滿分12分）四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E點滿足．

⑴求證：PA⊥平面ABCD；  ⑵求二面角E－AC－D的大小；

⑶在線段BC上是否存在點F使得PF∥面EAC？若存在，確定F的位置；若不存在，請說明理由。

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19．某種商品的成本為5元/件，開始按8元/件銷售，銷售量為50件，為了獲取最大利潤，商家先后采取了提價與降價兩種措施進行試銷。經試銷發現：銷售價每上漲1元每天銷售量就減少10件；而降價后，日銷售量Q (件)與實際銷售價x (元)滿足關系：

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⑴求總利潤(利潤＝銷售額－成本) y (元)與實際銷售價x (件)的函數關系式；

⑵試問：當實際銷售價為多少元時，總利潤最大．

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20．已知A(－1,0)、B(3,0)，M、N是圓O：x2＋y2＝1上的兩個動點，且M、N關于x軸對稱，直線AM與BN交于P點．

⑴求P點的軌跡C的方程；

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⑵設動直線l：y＝k(x＋)與曲線C交于S、T兩點．求證：無論k為何值時，以動弦ST為直徑的圓總與定直線x＝－相切．

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21．已知數列{an}滿足：，．

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⑴求數列{an}的通項公式；   ⑵證明：；

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⑶設，且，證明：．

湖北省八市2009年高三年級三月調考

試題詳情

一、選擇題

1．B　　2．A　　3．C　　4．B　　5．B　　6．D　　7．C　　8．C　　9．D　　10．A

二、填空題

11．　　12．　　13．－6　　14．；　　15．①②③④

三、解答題

16．解：⑴＝＝＝

＝                                                                                                                  3分

＝＝1＋1＋2cos2x＝2＋2cos2x＝4cos2x

∵x∈[0，]　　∴cosx≥0

∴＝2cosx                                                                                                     6分

⑵ f (x)＝cos2x－?2cosx?sinx＝cos2x－sin2x

      ＝2cos(2x＋)                                                                                            8分

∵0≤x≤　　∴  ∴　　∴

∴，當x＝時取得該最小值

　，當x＝0時取得該最大值                                                                    12分

17．由題意知，在甲盒中放一球概率為時，在乙盒放一球的概率為                  2分

①當n＝3時，x＝3，y＝0的概率為                                                 4分

②當n＝4時，x＋y＝4，又|x－y|＝ξ，所以ξ的可能取值為0，2，4

(i)當ξ＝0時，有x＝2，y＝2，它的概率為                                      4分

(ii)當ξ＝2時，有x＝3，y＝1或x＝1，y＝3

   它的概率為

(iii)當ξ＝4時，有x＝4，y＝0或x＝0，y＝4

   它的概率為

故ξ的分布列為

ξ

0

2

4

10分

p

∴ξ的數學期望Eξ＝                                                             12分

18．解：⑴證明：在正方形ABCD中，AB⊥BC

又∵PB⊥BC  ∴BC⊥面PAB  ∴BC⊥PA

同理CD⊥PA  ∴PA⊥面ABCD　　　　4分

⑵在AD上取一點O使AO=AD，連接E，O，

則EO∥PA，∴EO⊥面ABCD　過點O做

OH⊥AC交AC于H點，連接EH，則EH⊥AC，

從而∠EHO為二面角E－AC－D的平面角                                                             6分

在△PAD中，EO＝AP＝在△AHO中∠HAO＝45°，

∴HO＝AOsin45°=，∴tan∠EHO＝，

∴二面角E－AC－D等于arctan                                                                    8分

⑶當F為BC中點時，PF∥面EAC，理由如下：

∵AD∥2FC，∴，又由已知有，∴PF∥ES

∵PF面EAC，EC面EAC　　∴PF∥面EAC，

即當F為BC中點時，PF∥面EAC                                                                         12分

19．⑴據題意，得                                                4分

                                                                          5分

⑵由⑴得：當5＜x＜7時，y＝39(2x3－39x2＋252x－535)

當5＜x＜6時，y'＞0，y＝f (x)為增函數

當6＜x＜7時，y'＜0，y＝f (x)為減函數

∴當x＝6時，f (x)極大值＝f (16)＝195                                                                      8分

當7≤x＜8時，y＝6(33－x)∈(150，156]

當x≥8時，y＝－10(x－9)2＋160

當x＝9時，y極大＝160                                                                                           10分

綜上知：當x＝6時，總利潤最大，最大值為195                                                     12分

20．⑴設M(x0，y0)，則N(x0，－y0)，P(x，y)

(x0≠－1且x0≠3)

BN：y＝　　　②

聯立①②　　∴                                                                                        4分

∵點M(xo，yo)在圓⊙O上，代入圓的方程：

整理：y2＝－2(x＋1)  (x＜－1)                                                                             6分

⑵由

設S(x1、y1)，T(x2、y2)，ST的中點坐標(x0、y0)

則x1＋x2＝－(3＋)

x1x2＝                                                                                                           8分

∴

中點到直線的距離

∴

故圓與x＝－總相切．                                                                                         13分

⑵另解：∵y2＝－2(x＋1)知焦點坐標為(－，0)                                                   2分

頂點(－1，0)，故準線x＝－                                                                               4分

設S、T到準線的距離為d1，d2，ST的中點O'，O'到x＝－的距離為

又由拋物線定義：d1＋d2＝|ST|，∴

故以ST為直徑的圓與x＝－總相切                                                                      8分

21．解：⑴由，得

令，有

∴

    ＝

    ＝

又b1＝2a1＝2，                                                                               3分

∴

∴                                                                                    4分

⑵證法1：(數學歸納法)

1°，當n＝1時，a1＝1，滿足不等式                                                    5分

2°，假設n＝k(k≥1，k∈N*)時結論成立

即，那么

即                                                                                                       7分

又

由1°，2°可知，n∈N*，都有成立                                                           9分

⑵證法2：由⑴知：　　　　　　　　　　　　　　　　(可參照給分)

∵，，∴

∵  ∵

∴  ∴

當n＝1時，，綜上

⑵證法3：

∴{an}為遞減數列

當n＝1時，an取最大值　　∴an≤1

由⑴中知　　

綜上可知

⑶

欲證：即證                                                                             11分

即ln(1＋Tn)－Tn＜0，構造函數f (x)＝ln(1＋x)－x

∵當x＞0時，f ' (x)＜0

∴函數y＝f (x)在(0，＋∞)內遞減

∴f (x)在[0，＋∞)內的最大值為f (0)＝0

∴當x≥0時，ln(1＋x)－x≤0

又∵Tn＞0，∴ln(1＋Tn)－Tn＜0

∴不等式成立                                                                                           14分

 

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