西安交大附中
2008―2009學年高三第一學期期末考試
數 學 試 題（理）
（全卷滿分150分，用時120分鐘）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有
1．設集合
，
，則
等于
（ ）
Ａ．
B．R
C．
D．
2．已知
，
都是實數，那么“
”是“
”的 （ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．函數
的圖像關于 （ ）
A．
軸對稱 B．直線
對稱
C．坐標原點對稱 D．直線
對稱
4．已知平面向量
，
，且
//
，則
＝ （ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
中，
，
，
，那么角
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函數
，則
是 （ ）
A．最小正周期為
的奇函數 B． 最小正周期為
的奇函數
C．最小正周期為的偶函數 D． 最小正周期為的偶函數
7．設等比數列
的公比
，前n項和為
，則
（ ）
A．2 B． 
D． 
8．函數
的反函數為 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．設
為拋物線
的焦點，
為該拋物線上三點，若
，
則
（ ）
A．9 B．
10．若
，且當
時，恒有
，則以,b為坐標點
所
形成的平面區域的面積等于 （ ）
A．
B．
C．1 D．
11．直線
繞原點逆時針旋轉
，再向右平移１個單位，所得到的直線為 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．在實數的原有運算法則中，我們補充定義新運算“
”：當
時，
；
當
時，
． 則函數
，
的最大值等于
（其中“
”和“－”仍為通常的乘法和減法） （ ）
A．－1 B．
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13．若
，則
_________.
14．已知
，
，則
的最小值 ．
15．已知雙曲線
的兩條漸近線方程為
，若頂點到漸近
線的距離為1，則雙曲線方程為 ．
16．將全體正整數排成一個三角形數陣：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的規律，第n 行（n ≥3）從左向右的第3 個數為 ．
三、解答題：（本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（本小題滿分12分）
設的內角所對的邊長分別為
，且
，
．
（1）求邊長；
（2）若的面積
，求的周長
．
18．本小題滿分12分）設
求證：
（1）過函數
圖象上任意兩點直線的斜率恒大于0；
（2）
。
19．（本小題滿分12分）
設是公比大于1的等比數列，為數列的前
項和．已知
，
|
求數列
的前
．
對任意
成立，求實數
是它的兩個頂點，直線
與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．
（1）若
，求
的值；
面積的最大值．
滿足
為實數
對任意
成立的充分必要條件是
；
，證明：
;
.
14．3 15．
16．
， 
，
，
．
，得到
．
，
，
．
，則x=
，f(x)= 
(t∈R)
(x∈R)
，f(
)－f(
)=
>0
∴上述不等式不能取等號，∴f(x)>3.
．
，由
．
，
，
．
．
．
．
是等差數列．
．
若 
則 
列表如下：
兩邊取對數, 得 
,由于
所以
（1）
, 
,即
，
的方程分別為
，
． 2分
如圖，設
，其中
，
滿足方程
，
．①
，得
；
在
上知
，得
．
，
，
或
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
到
，
．????????????????????????????????????????????????????????? 9分
，所以四邊形
，
，即當
時，上式取等號．所以
的最大值為
．?????????????????????? 12分
，
．
，
，由①得
，
，
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
，
時，上式取等號．所以
----------------------1分
的最小值為
，
-----------3分
的斜率為
------------5分
，
，
．
，列表如下：
，
，
上的最大值是
，
，即
時，
.假設
，且
，由數學歸納法知
，結論成立
時，
,由（1）知
，所以 
且 
，結論成立
