上海市靜安區2006年第二學期高三年級模擬檢測
數學試卷
（滿分150分，時間120分鐘）
考生注意：
1． 各題號后未注明的試題是所有考生都要做的試題，如題號后注明（文）、（理）則分別表示該題供文、理考生做。
2． 可使用符合規定的計算器答題。
一、 填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，每題4分，只要求直接填寫結果．
1．已知
（其中
為實數，
為虛數單位），則
__________．
2．過點A（0，2）且與直線
垂直的直線方程為________________．
3．若點
在第二象限，則角
的終邊在第
象限．
4．對于集合
，若
，則實數a的取值范圍是__________．
5．在一個袋子里有18個紅球和2個白球，現從中隨機拿出3個，則其中至少有一個白球的概率是__________（用分數表示）．
6．(理)方程
的解
=____________．
(文)方程
的解=_____________．
7．（理）經過點A（a，0）（a >0），且與極軸正方向夾角為
的直線的極坐標方程為_____________．
（文）不等式組
表示的區域的面積是___________．
8．（理）函數
的值域是_____________．
（文）已知某工程由下列工序組成，則工程總時數為_________天．
工序
a
b
c
d
e
緊前工序
――
――
a、b
a
c、d
工時數（天）
3
4
2
5
1
9．（理）設
是方程
的兩個根，則
__________．
（文）設
，則方程
的根為 ___________．
10．已知函數
是定義在R上的奇函數，且
的圖像關于
對稱，則
．
11．已知無窮等比數列
（n為正整數）的首項
，公比
．設
，則
=_____________．
12．已知命題：橢圓
與雙曲線
的焦距相等．試將此命題推廣到一般情形，使已知命題成為推廣后命題的一個特例：
二、 選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內，選對得 4分，否則一律得零分.
13． 已知
均為銳角，p：
；q：
．則p是q的……（ ）
（A）充分非必要條件 （B）必要非充分條件
（C）充分必要條件 （D）既非充分又非必要條件
14．已知直角坐標平面上四點 A、B、C、D ，
，則一定共線的三點是 …………………………………………………………（ ）
（A）A、B、C （B）B、C、D （C）A、C、D （D）A、B、D
（說明：
與
表示意義相同）
15．（理）已知復數
在復平面上對應的點分別為A、B，將復平面沿虛軸折起，使兩個半平面互相垂直，此時A、B兩點之間的距離是（
）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（文）已知復數
在復平面上對應的點分別為A、B，點B繞點A逆時針旋轉90°到達點C．則點C所對應的復數為……………………（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
16．某水電站的蓄水池有2個進水口，1個出水口，每個進水口進水量與時間的關系如圖甲所示，出水口出水量與時間的關系如圖乙所示．已知某天0點到6點進行機組試運行，試機時至少打開一個進水口，且該水池的蓄水量與時間（時間單位：小時）的關系如圖丙所示：
給出以下三個判斷:①0點到3點只進水不出水；②3點到4點，不進水只出水；③4點到6點不進水不出水. 則上述判斷中一定正確的是………………………（ ）
（A）① （B）② （C）①③ （D）②③
三、解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.
17． (本題滿分12分)
（理）如圖所示，已知長方體ABCD―A1B
，求：長方體ABCD―A1B
（文）本題共有2個小題，每小題滿分6分.
如圖所示，已知正四面體ABCD的棱長為2，點E為棱AD的中點，求：
（1）正四面體ABCD的體積；
（2）直線CE與平面BCD所成的角的大�。ㄓ梅慈呛瘮抵当硎荆�
18．(本題滿分12分) 本題共有2個小題，每1小題滿分6分.
在
中，已知
=30，外接圓的半徑R=17．
（1）求
的大�。唬ㄓ梅慈呛瘮抵当硎荆�
（2）（理）若
，求的周長．
（文）若，求的面積．
19．(本題滿分14分) 本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分6分，第3小題滿分3分.
某種洗衣機在洗滌衣服時，需經過進水、清洗、排水、脫水四個連續的過程．假設進水時水量勻速增加，清洗時水量保持不變．已知進水時間為4分鐘，清洗時間為12分鐘，排水時間為2分鐘，脫水時間為2分鐘．洗衣機中的水量y (升)與時間x (分鐘)之間的關系如下表所示：
x
0
2
4
16
16.5
17
18
…
y
0
20
40
40
29.5
20
2
…
請根據表中提供的信息解答下列問題：
（1）試寫出當
Î[0，16]時y關于x的函數解析式，并畫出該函數的圖像；
（2）根據排水階段的2分鐘點（x，y）的分布情況，可選用
或
（其中a、b、c、d為常數），作為在排水階段的2分鐘內水量y與時間x之間關系的模擬函數．試分別求出這兩個函數的解析式；
（3）請問（2）中求出的兩個函數哪一個更接近實際情況？（寫出必要的步驟）
20．(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
設函數
．
（1）求函數
的解析式；
（2）（理）設
，是否存在實數a，使得當
時，恒有
成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（文）設，當
時，求函數
在閉區間
上的最小值與最大值．
21. (本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分4分，第3小題滿分6分.
一個數表如圖所示：
對于任意的正整數n，表中第n+1行中的數均由第n行中的數按相同規律生成得到．設
表示位于第n行的數的個數，
表示第n行各數的和．
（1）
試求
、
；
（2）
求；
（3）
若
表示數表中第n行第i個數，試用表示第n+1行中由所生成的數（寫出它們之間的關系式）．
22．(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
已知動圓過定點
，且與定直線
相切．
（1）求動圓圓心M的軌跡方程；
（2）設點O為坐標原點， P、Q兩點在動點M的軌跡上，且滿足OP^OQ，OP=OQ，求等腰直角三角形POQ的面積；
（3）（理）設一直線l與動點M的軌跡交于R、S兩點， 若
且
，試求該直線l的傾斜角的取值范圍．
（文）設過點的直線l與動點M的軌跡交于R、S相異兩點，試求△ROS面積的取值范圍．
2006靜安二模參考解答與評分建議
一、填空題
1. 0； 2. 2x-3y+6=0； 3. 四； 4. 
； 5. 
;
6.（文理）-1;
7.（理）
；（文）1/4；
8.（理）
；（文）9；
9.（理）1； （文）
10．0； 11.4/15；
12.橢圓
與雙曲線
的焦距相等；
橢圓
與雙曲線
的焦距相等
二、選擇題
13．B 14．D 15．（文理）B 16．A
三、17.(理)
[解法一]如圖建立空間直角坐標系， …（2分）
由題意，得A(0,0,0),C(2,2,0),
， …（4分）
設A1點的坐標為
，
則
，
…（6分）
設
則
，
因為A1D與AC所成的角的大小為
…（8分）
解方程
得
，故
的長度是4，
…（10分）
又
，
因此長方體ABCD―A1B
[解法二]過D引AC的平行線，交BA的延長線于F，則∠A1DF是異面直線A1D與AC所成的角。
∴∠A1D F=， …（4分）
DF=AC=
。
又由
得A
所以，三角形DA
A1D=
，所以A
因此長方體ABCD―A1B
（文）（1）解：（1）高
……（2分），
底面積
……（2分），
體積
……（6分）
（說明：直接由公式計算得出正確結果不扣分）
（2）過點E作
于F，ÐECF就是所求的角，…（8分）
在RtΔECF中，EF=
，
，
，…（10分）
所以CE與平面BCD所成角為
（12分）
18．（1）設
，由擴充的正弦定理
，得
…（4分）
所以
…（6分）
（兩解遺漏一個扣1分）
（2）（理）由
得
，所以
為銳角，
…（8分）
即
，再由余弦定理
，得
，
…（11分）
所以的周長為70
…（12分）
（2）文：由得，所以為銳角，，…（8分）
即，…（10分）再由面積公式
…（12分）
19．（1）
，…（3分） 圖像…（5分）
（2）?）設
，由表中數據可得：
…（7分）
所以函數解析式為：
…（8分）
?）設
，
由表中數據可得
…（10分）
所以函數解析式為：
…（11分）
（3）將x=18分別代入
，
得
…（13分）
原表實際情況為x=18時y=2，
顯然更接近實際情況…（14分）
（或將x=16分別代入，
，
；原表實際情況為x=16時y=40，
，更接近實際情況）
（2）中所有可能情況列表：
x
17,18
16.5,17
16,18
5508
5472
16,16.5
16,17
16.5,18
5544
5440
5445
對于上述6個中任何一個都是符合要求，也是。
（3）的各種可能情況列表：
賦值x
16.5，16
16,18
16.5,17
，29.8，40.25
，39.6，2.6
，29.6，19.88
，31.7，45.2
40.461，5.385
，28.15，17.85
17,18
16.5,18
16,17
，19.6，1.5
，29.7，2.22
，39.81，19.79
，20.4，6.4
，29.29，5.76
，41.99，18.68
20．（1）設
，則
…（2分），
兩邊取對數得：
…（4分），所以
…（6分）
（2）（理）因為
時，函數有意義，所以
，所以
， …（7分）
設
，則
，二次函數
的對稱軸為
，所以在上為增函數，當
時，取得最小值
，當
時取得最大值
…（9分）
從而可得在閉區間
上的最小值與最大值分別為
…（11分）
當
時，恒有
成立的充要條件為
，…（13分） 解得
。 …（14分）
文：設，則， …（8分）
二次函數的對稱軸為，所以在上為增函數，…（10分）當時，取得最小值，當時取得最大值…（12分）
從而可得在閉區間上的最小值與最大值分別為 …（14分）
21．（1）
…（3分）
…（6分）
（2）
，
，…（9分）
即
…（10分）（注：僅有
得2分）
（3）
，…（13分）
，
…（16分）
22．（1）設動圓圓心M的坐標為M（x,y）， 因為動圓過定點，且與定直線相切，所以M到直線的距離等于M到F的距離，
于是有
…（2分）
化簡得
，即動圓圓心M的軌跡方程為 …（4分）
（2）解法1：由拋物線的對稱性可知，直線OP的方程為：
，…（6分）
可解得點P、Q的坐標分別為
…（8分）
所以，
…（10分）
解法2：因為OP^OQ，設直線OP的方程為：
，
則直線OQ的方程為：
，…（6分）
解得點P、Q的坐標分別為
，
由OP=OQ，得
，
，可得點P、Q坐標分別為…（8分）
所以，…（10分）
（3）（理）解法1：設
，由
解得
，…（12分）
…（14分）
?）直線與x軸垂直時，
，符合…（15分）
?）設RS斜率為k，傾斜角為
，
，由
得
，
所以，直線傾斜角的取值范圍是
…（18分）
解法2：直線與x軸垂直時，，符合…（11分）
設直線l的方程為
，與
有交點，所以
之
，…（13分）
又
，…（15分）
所以
，
…（16分）
，即
，設
，則
，
所以，直線傾斜角的取值范圍是…（18分）
文：設三角形面積為W，斜率不存在時，
，…（11分）
斜率存在時，顯然
，設直線方程為
，設點P、Q的坐標分別為
，則
=
，…（13分）
由方程組
得
，所以
…（16分）
，該函數的值域為
，所以三角形面積W的取值范圍是
…（18分）（注：端點
沒取的總共扣1分）
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