轉化 轉化 面面平行 線面平行線線平行； 
主要依據是有關的定義及判定定理和性質定理．? 2.
如圖所示，四棱錐P―ABCD中，AB AD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點。 (1)求證：BM∥平面PAD； (2)在側面PAD內找一點N，使MN平面PBD； (3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。 解析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直， 二面角等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.  答案：（1）  是 的中點，取PD的中點 ，則
   ，又
 四邊形 為平行四邊形
 ∥ ，
∥ （4分） （2）以 為原點，以、 、 所在直線為 軸、 軸、 軸建立空間直角坐標系，如圖，則 ， ， ， ， ， 在平面 內設 ， ， ， 由   由     是 的中點，此時 （8分）
（3）設直線與平面 所成的角為  ， ，設 為
 
故直線與平面所成角的正弦為 （12分） 解法二： （1）是的中點，取PD的中點，則  ，又
四邊形為平行四邊形 ∥，
∥ （4分） （2）由（1）知為平行四邊形   ，又
 同理 ，
  為矩形  ∥ ， ，又
  
 作 故
 交于，在矩形內， ，
 ， 為的中點
當點為的中點時， （8分） （3）由（2）知為點到平面的距離， 為直線與平面所成的角，設為， 直線與平面所成的角的正弦值為 點評：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內一條直線平行即可；（2）求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線面垂直只需證此直線與平面內兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現出來 3.
如圖，四棱錐 中，側面 是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面 是 的菱形， 為 的中點. (Ⅰ)求 與底面所成角的大�。� (Ⅱ)求證： 平面 ； (Ⅲ)求二面角 的余弦值. 解析：求線面角關鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法 求二面角的大小也可應用面積射影法，比較好的方法是向量法 答案：(I)取DC的中點O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC． 又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O． 連結OA，則OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA與底面所成角． ∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP= ． ∴∠PAO=45°．∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°．
……6分 (II)由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．  建立空間直角坐標系如圖，則 ,  ．
由M為PB中點，∴ ． ∴  ． ∴ ，  ．
∴PA⊥DM，PA⊥DC． ∴PA⊥平面DMC． ……4分 (III) ．令平面BMC的法向量 ， 則 ，從而x+z=0； ……①,  ，從而 ．
……② 由①、②，取x=−1，則 ． ∴可取 ． 由(II)知平面CDM的法向量可取 ， ∴ ．
∴所求二面角的余弦值為－ ． ……6分 法二：（Ⅰ）方法同上
（Ⅱ）取的中點 ，連接 ，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，則 ，又 ，則 ，即 ， 又在 中，中位線  ， ，則 ，則四邊形 為 ，所以 ，在 中， ，則 ，故 而 ， 則 （Ⅲ）由（Ⅱ）知 ，則 為二面角的平面角，在 中，易得  ， ，  故，所求二面角的余弦值為
點評：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強 用平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法. 4.
如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE= ，ED//AF且∠DAF=90°。  （1）求BD和面BEF所成的角的余弦；
（2）線段EF上是否存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由。
1,3,5 答案：（1）因為AC、AD、AB兩兩垂直，建立如圖坐標系， 則B（2，0，0），D（0，0，2）， E（1，1，2），F（2，2，0）， 則  設平面BEF的法向量
 ，則可取 ，
∴向量 所成角的余弦為  。
即BD和面BEF所成的角的余弦 。 （2）假設線段EF上存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，不妨設EP與PF的比值為m，則P點坐標為  則向量 ，向量 
所以 。 點評：本題考查了線線關系，線面關系及其相關計算，本題采用探索式、開放式設問方式，對學生靈活運用知識解題提出了較高要求。 5.
已知正方形 、 分別是、 的中點,將 沿 折起,如圖所示,記二面角 的大小為 (I) 證明 平面 ; (II)若 為正三角形,試判斷點在平面 內的射影 是否在直線 上,證明你的結論,并求角的余弦值  分析:充分發揮空間想像能力，重點抓住不變的位置和數量關系，借助模型圖形得出結論，并給出證明.
解: (I)證明:EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點, EB//FD,且EB=FD, 四邊形EBFD為平行四邊形 BF//ED.  ,平面
(II)如右圖,點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上,過點A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結GC,GD  ACD為正三角形,AC=AD.
CG=GD. G在CD的垂直平分線上, 點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上, 過G作GH垂直于ED于H,連結AH,則 ,所以 為二面角A-DE-C的平面角 即 . 設原正方體的邊長為2a,連結AF,在折后圖的AEF中,AF= ,EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形,  .  在RtADE中,   .
 ,
點評：在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問題中，一般來說，位于同一平面內的幾何元素相對位置和數量關系不變：位于兩個不同平面內的元素，位置和數量關系要發生變化，翻折問題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。關鍵要抓不變的量. 6.
設棱錐M-ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.  分析：關鍵是找出球心所在的三角形，求出內切圓半徑.
解：
∵AB⊥AD，AB⊥MA， ∴AB⊥平面MAD， 由此，面MAD⊥面AC. 記E是AD的中點，從而ME⊥AD. ∴ME⊥平面AC，ME⊥EF. 設球O是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球. 不妨設O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的內心. 設球O的半徑為r，則r＝ 設AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1. ∴ME＝ .MF＝ , r＝ ≤ ＝-1。 當且僅當a＝，即a＝時，等號成立. ∴當AD＝ME＝時，滿足條件的球最大半徑為-1. 點評：涉及球與棱柱、棱錐的切接問題時一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系。注意多邊形內切圓半徑與面積和周長間的關系；多面體內切球半徑與體積和表面積間的關系。 試題詳情
江蘇省常州高級中學 2008～2009學年高三年級第二次階段教學質量調研 物 理 試 卷
2008.10 說明：1. 以下題目的答案全部做在答卷紙上。
2. 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題, 共38分)和第Ⅱ卷(非選擇題, 共82分)兩部分．考試時間為100分鐘，滿分為120分． 第Ⅰ卷(選擇題 共38分) 試題詳情
淮安市2009屆高三年級十月四校聯考 物理試卷
考生注意：1.
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。試卷總分120分，考試用時100分鐘 2．請將第Ⅰ卷（選擇題）答案填涂到答題卡上，第Ⅱ卷（非選擇題）答案填寫到答卷紙上，否則答題無效。 第Ⅰ卷 選擇題（共31分） 試題詳情
2009屆高考數學壓軸題預測 專題七 應用性問題 1.
近年來，太陽能技術運用的步伐日益加快．2002年全球太陽電池的年生產量達到670兆瓦，年生產量的增長率為34%．以后四年中，年生產量的增長率逐年遞增2%（如，2003年的年生產量的增長率為36%）． （1）求2006年全球太陽電池的年生產量（結果精確到0.1兆瓦）； （2）目前太陽電池產業存在的主要問題是市場安裝量遠小于生產量，2006年的實際安裝量為1420兆瓦．假設以后若干年內太陽電池的年生產量的增長率保持在42%，到2010年，要使年安裝量與年生產量基本持平（即年安裝量不少于年生產量的95%），這四年中太陽電池的年安裝量的平均增長率至少應達到多少（結果精確到0.1%）？ 分析：本題命題意圖是考查函數、不等式的解法等基礎知識，考查運用數學知識分析解決問題的能力。 解析（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太陽電池的年生產量的增長率依次為  ， ， ， ．則2006年全球太陽電池的年生產量為  (兆瓦)． （2）設太陽電池的年安裝量的平均增長率為 ，則 ．解得 ．因此，這四年中太陽電池的年安裝量的平均增長率至少應達到 ． 點評：審清題意，理順題目中各種量的關系是解決本題的關鍵。 2.
某分公司經銷某種品牌產品，每件產品的成本為3元，并且每件產品需向總公司交 元（ ）的管理費，預計當每件產品的售價為 元（ ）時，一年的銷售量為 萬件．（Ⅰ）求該分公司一年的利潤 （萬元）與每件產品的售價的函數關系式；（Ⅱ）當每件產品的售價為多少元時，該分公司一年的利潤最大，并求出的最大值 ． 分析：本題命題意圖是考查函數的解析式的求法、利用導數求最值、導數的應用等知識，考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力． 解析：（Ⅰ）分公司一年的利潤（萬元）與售價的函數關系式為：  ． （Ⅱ）  ，令 得 或 （不合題意，舍去）．  ， ． 在兩側 的值由正變負．
所以（1）當 即 時，
 ．
（2）當 即 時，
 ，
所以 答：若，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤最大，最大值 （萬元）；若，則當每件售價為 元時，分公司一年的利潤最大，最大值 （萬元）． 點評：準確進行導數運算，掌握運用導數判斷函數單調性及求函數極值、最值的方法是解決此題的關鍵。 3. （07安徽文理）某國采用養老儲備金制度.公民在就業的第一年就交納養老儲備金，數目為a1，以后每年交納的數目均比上一年增加d（d>0），因此，歷年所交納的儲務金數目a1，a2，…是一個公差為d的等差數列，與此同時，國家給予優惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利.這就是說，如果固定年利率為r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變為a1（1＋r）a－1，第二年所交納的儲備金就變為a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累計的儲備金總額. （Ⅰ）寫出Tn與Tn－1（n≥2）的遞推關系式； （Ⅱ）求證：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一個等比數列，｛Bn｝是一個等差數列. 分析：本小題命題意圖主要考查等差數列、等比數列的基本概念和基本方法，考查學生的閱讀資料、提取信息、建立數學模型的能力，考查應用所學的知識分析和解決實際問題的能力。 解析：（1）我們有 （ ） （2） ，對反復使用上述關系式，得：   。①
在①式兩邊同乘以 ，得：  ②
由②－①，得  ，即
 。
 如果記 ，  ，則 ，其中 是以 為首項，以 為公比的等比數列； 是以 為首項，以 為公差的等差數列。
點評：掌握等差數列、等比數列的概念、通項公式、以及求和方法是解決此題的關鍵。 4.
如圖，甲船以每小時30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行.當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里.當甲船航行20分鐘到達A1處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B1處，此時兩船相距10海里，問乙船每小時航行多少海里？（07山東理） 分析：本題命題意圖是通過實際問題考查了正弦定理、余弦定理、解三角形的能力以及分析解決問題的能力。 解析：如圖，連結 ， ， ，
 是等邊三角形， ，在 中，由余弦定理得  ，
 ， 因此乙船的速度的大小為
答：乙船每小時航行 海里. 點評：連接，構造兩個可解的三角形與是處理此題的關鍵，此外，還可連接 來解。 5.
 某工廠生產甲、乙兩種產品，每種產品都是經過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結果相互獨立，每道工序的加工結果均有A、B兩個等級.對每種產品，兩道工序的加工結果都為A級時，產品為一等品，其余均為二等品. （Ⅰ）已知甲、乙兩種產品每一道工序的加工結
果為A級的概率如表一所示，分別求生產
出的甲、乙產品為一等品的概率P甲、P乙；
（Ⅱ）已知一件產品的利潤如表二所示，用ξ、 
η分別表示一件甲、乙產品的利潤，在
（I）的條件下，求ξ、η的分布列及 Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生產一件產品需用的工人數和資金額
如表三所示.該工廠有工人40名，可用資.
|
項目 產品 工人（名） 資金（萬元） 甲 8 8 乙 2 10
2009屆高考數學壓軸題預測 專題二 數列 1. 已知函數 ， 是方程f(x)＝0的兩個根 ， 是f(x)的導數；設 ， (n＝1，2，……) (1)求的值； (2)證明：對任意的正整數n，都有 ＞a； (3)記 (n＝1，2，……)，求數列{bn}的前n項和Sn。 解析：(1)∵，是方程f(x)＝0的兩個根， ∴ ； (2) ， ＝ ，∵，∴有基本不等式可知 (當且僅當 時取等號)，∴ 同，樣 ，……， (n＝1，2，……)， (3) ，而 ，即 ，  ，同理 ， ，又
2.
已知數列 的首項 （a是常數，且 ）， （ ），數列 的首項 ， （）。 （1）證明：從第2項起是以2為公比的等比數列； （2）設 為數列的前n項和，且 是等比數列，求實數 的值； （3）當a>0時，求數列的最小項。 分析：第（1）問用定義證明，進一步第（2）問也可以求出，第（3）問由的不同而要分類討論。 解：（1）∵ ∴  (n≥2) 由得 ， ， ∵，∴
 ， 即 從第2項起是以2為公比的等比數列。 （2） 當n≥2時， ∵ 是等比數列, ∴ (n≥2)是常數， ∴3a+4=0，即 。 （3）由（1）知當時， ， 所以 ， 所以數列為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，…… 顯然最小項是前三項中的一項。 當 時，最小項為8a-1； 當 時，最小項為4a或8a-1； 當 時，最小項為4a； 當 時，最小項為4a或2a+1； 當 時，最小項為2a+1。 點評：本題考查了用定義證明等比數列，分類討論的數學思想，有一定的綜合性。 考點二：求數列的通項與求和 3.
已知數列 中各項為：
12、1122、111222、……、  ……
（1）證明這個數列中的每一項都是兩個相鄰整數的積. （2）求這個數列前n項之和Sn . 分析：先要通過觀察，找出所給的一列數的特征，求出數列的通項，進一步再求和。 解：（1）
 
個   = A
(A+1) ，
得證
(2)
  
點評：本題難點在于求出數列的通項，再將這個通項“分成” 兩個相鄰正數的積，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。 4.
已知數列 滿足 ， ． （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）設 ，求數列的前 項和； （Ⅲ）設 ，數列 的前項和為 ．求證：對任意的 ， ． 分析：本題所給的遞推關系式是要分別“取倒”再轉化成等比型的數列，對數列中不等式的證明通常是放縮通項以利于求和。 解：（Ⅰ） ， ， 又 ， 數列 是首項為 ，公比為 的等比數列．  ， 即 . （Ⅱ） ．  ．
（Ⅲ） ，  ．
當 時，則  
 ．
 ， 對任意的，．
點評：本題利用轉化思想將遞推關系式轉化成我們熟悉的結構求得數列的通項，第三問不等式的證明要用到放縮的辦法，這將到下一考點要重點講到。 考點三：數列與不等式的聯系 5.
已知 為銳角，且 ， 函數 ，數列{an}的首項 . ⑴ 求函數 的表達式； ⑵ 求證： ； ⑶
求證： 分析：本題是借助函數給出遞推關系，第（2）問的不等式利用了函數的性質，第（3）問是轉化成可以裂項的形式，這是證明數列中的不等式的另一種出路。 解：⑴ 又∵為銳角
∴ ∴  ⑵  ∵ ∴ 都大于0
∴
∴ ⑶  ∴
∴
 ∵ ,  ,
又∵
∴
∴
∴ 點評：把復雜的問題轉化成清晰的問題是數學中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。 6.
已知數列 滿足 （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）若數列 滿足 ，證明：是等差數列； （Ⅲ）證明： 分析：本例（1）通過把遞推關系式轉化成等比型的數列；第（2）關鍵在于找出連續三項間的關系；第（3）問關鍵在如何放縮。 解：（1） ， 故數列 是首項為2，公比為2的等比數列。  ，
（2） ，  ①
 ②
②―①得 ，即 ③  ④
④―③得 ，即 所以數列 是等差數列 （3） 設 ，則  
點評：數列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。 7.
已知函數 ,數列滿足 ,  ; 數列滿足 ,  .求證:
（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）若 則當n≥2時, . 分析：第（1）問是和自然數有關的命題，可考慮用數學歸納法證明；第（2）問可利用函數的單調性；第（3）問進行放縮。 解：(Ⅰ)先用數學歸納法證明 ,. （1）當n=1時,由已知得結論成立; （2）假設當n=k時,結論成立,即 .則當n=k+1時, 因為0<x<1時, ,所以f(x)在(0,1)上是增函數. 又f(x)在 上連續,所以f(0)<f( )<f(1),即0< . 故當n=k+1時,結論也成立. 即對于一切正整數都成立. 又由, 得 ,從而 . 綜上可知 (Ⅱ)構造函數g(x)= -f(x)=  ,
0<x<1, 由 ,知g(x)在(0,1)上增函數. 又g(x)在上連續,所以g(x)>g(0)=0. 因為,所以 ,即 >0,從而 (Ⅲ) 因為 ,所以 ,  , 所以 ――――① , 由(Ⅱ) 知: , 所以 = , 因為 , n≥2, 所以
 < < = ――――② . 由①② 兩式可知: . 點評：本題是數列、超越函數、導數的學歸納法的知識交匯題，屬于難題，復習時應引起注意。 考點四：數列與函數、向量等的聯系 8.
已知函數f(x)= ，設正項數列滿足 =l，． (1)寫出 、 的值; (2)試比較與 的大小，并說明理由； (3)設數列滿足 =－，記Sn= ．證明：當n≥2時,Sn＜ (2n－1)． 分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。 解：(1) ，因為 所以 （2）因為 所以  ,
因為 所以 與 同號， 因為 ，  …， 即 （3）當 時，  ，
所以 ， 所以 點評：本題是函數、不等式的綜合題，是高考的難點熱點。 9.
在平面直角坐標系中，已知三個點列{An}，{Bn}，{Cn}，其中  ，滿足向量 與向量 共線，且點（B，n）在方向向量為（1，6）的 線上 （1）試用a與n表示 ； （2）若a6與a7兩項中至少有一項是an的最小值，試求a的取值范圍。 分析：第（1）問實際上是求數列的通項；第（2）問利用二次函數中求最小值的方式來解決。 解：（1） 又∵{Bn}在方向向量為（1，6）的直線上， 
 （2）∵二次函數 是開口向上，對稱軸為 的拋物線 又因為在a6與a7兩項中至少有一項是數列{an}的最小項， ∴對稱軸 點評：本題是向量、二次函數、不等式知識和交匯題，要解決好這類題是要有一定的數學素養的。 試題詳情
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∵ DE
平面CDB1，AC1
平面CDB1，
，2,0）
＝（－3,0，0），
＝（0，－4,0），∴
（2）設CB1與C1B的交戰為E，則E（0,2，2）.∵
＝（－
＝（－3,0，4），∴
，∴DE∥AC1.
最大？最大值是多少？
、
的分別列是
目標函數為
取最大值. 解方程組
即
時，z取最大值，z的最大值為25.2 .
表示經銷一件該商品的利潤。
；
。www.xkb123.com
表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”．知
表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”
，
．
元，
元，
元．
，
，
．
（元）．
與水平地面的夾角為
, 
試問此人距水平地面多高時，觀看塔的視角∠BPC最大（不計此人的身高）
直線l的方程為
即
設點P的坐標為（x，y）， 則
由經過兩點的直線的斜率公式
由直線PC到直線PB的角的公式得，
達到最小，由均值不等式
時上式取得等號，故當x=320時tanBPC最大，這時，點P的縱坐標y為 
所以tanBPC最大時，∠BPC最大，故當此人距水平地面
如圖，設曲線
在點
處的切線
軸所圍成的三角形面積為
，求（1）切線
，
切線
，即
，又令
，
的最大值為
，即
上的兩個函數
和
，如果對任意的
，均有不等式
成立，則稱函數
與
，給定區間
.
（*）
，而
的右側，
在區間
時，函數
時，函數