2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座七

探究、操作性問題

【知識縱橫】

     探索研究是通過對題意的理解，解題過程由簡單到難，在承上啟下的作用下，引導學生思考新的問題，大膽進行分析、推理和歸納，即從特殊到一般去探究，以特殊去探求一般從而獲得結論，有時還要用已學的知識加以論證探求所得結論。操作性問題是讓學生按題目要求進行操作，考察學生的動手能力、想象能力和概括能力。

【典型例題】

【例1】（江蘇鎮江)探索研究

如圖，在直角坐標系中，點為函數在第一象限內的圖象上的任一

點，點的坐標為，直線過且與軸平行，過作軸的平行線分別交軸，于，連結交軸于，直線交軸于．

（1）求證：點為線段的中點；  

（2）求證：①四邊形為平行四邊形；  ②平行四邊形為菱形；

（3）除點外，直線與拋物線有無其它公共點？并說明理由．

【思路點撥】（2）①證；②設，證AP=PQ;（3）求直線的解析式與拋物線方程組成聯立方程組，討論方程組解的情況。

【例2】（福建南平）

（1）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點．

①如圖1，求證：；

 ②探究：如圖1，         ；

如圖2，         ；

如圖3，         ．

（2）如圖4，已知：是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊；是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊．的延長相交于點．

①猜想：如圖4，         （用含的式子表示）；

②根據圖4證明你的猜想．

【思路點撥】（2）②由正邊形的內角定理，證_。

【例3】（內江市）

在一平直河岸同側有兩個村莊，到的距離分別是3km和2km，．現計劃在河岸上建一抽水站，用輸水管向兩個村莊供水．

方案設計

某班數學興趣小組設計了兩種鋪設管道方案：圖13-1是方案一的示意圖，設該方案中管道長度為，且（其中于點）；圖13-2是方案二的示意圖，設該方案中管道長度為，且（其中點與點關于對稱，與交于點）．

觀察計算

（1）在方案一中，         km（用含的式子表示）；

（2）在方案二中，組長小宇為了計算的長，作了如圖13-3所示的輔助線，請你按小宇同學的思路計算，         km（用含的式子表示）．

探索歸納

（1）①當時，比較大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；

②當時，比較大�。�（填“＞”、“＝”或“＜”）；

（2）請你參考右邊方框中的方法指導，

就（當時）的所有取值情況進

行分析，要使鋪設的管道長度較短，

應選擇方案一還是方案二？

【思路點撥】參考方法指導解答探索

歸納（2）。

【例4】（浙江寧波）如圖1，把一張標準紙一次又一次對開，得到“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙…．已知標準紙的短邊長為．

（1）如圖2，把這張標準紙對開得到的“16開”張紙按如下步驟折疊：

第一步  將矩形的短邊與長邊對齊折疊，點落在上的點處，鋪平后得折痕；

第二步    將長邊與折痕對齊折疊，點正好與點重合，鋪平后得折痕．

則的值是        ，的長分別是       ，        ．

（2）“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙的長與寬之比是否都相等？若相等，直接寫出這個比值；若不相等，請分別計算它們的比值．

（3）如圖3，由8個大小相等的小正方形構成“”型圖案，它的四個頂點分別在“16開”紙的邊上，求的長．

（4）已知梯形中，，，，且四個頂點都在“4開”紙的邊上，請直接寫出2個符合條件且大小不同的直角梯形的面積．

【思路點撥】（3）證,，設，建立關于x的方程解之；（4）參考圖3分二類情形討論。

【學力訓練】

1、（山東聊城）探索研究：如圖，把一張長10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪

去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）．

（1）要使長方體盒子的底面積為48cm²，那么剪去的正方形的邊長為多少？

（2）你感到折合而成的長方體盒子的側面積會不會有更大的情況？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由；

（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個同樣大小的正方形和2個同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，是否有側面積最大的情況；如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由．

2、（山東棗莊）把一副三角板如圖甲放置，其中，，，斜邊，．把三角板DCE繞點C順時針旋轉15°得到△D₁CE₁（如圖乙）．這時AB與CD₁相交于點，與D₁E₁相交于點F．

（1）求的度數；

（2）求線段AD₁的長；

（3）若把三角形D₁CE₁繞著點順時針再旋轉30°得△D₂CE₂，這時點B在△D₂CE₂的內部、外部、還是邊上？說明理由．

3、（江蘇鹽城）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．

解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．

①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置

關系為   ▲   ，數量關系為   ▲   ．

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，點D在線段BC上運動．

試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）

（3）若AC＝，BC=3，在（2）的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF

相交于點P，求線段CP長的最大值．

    4、（07麗水市）如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形的邊落在軸的正半軸上，且∥，，=4，=6，=8．正方形的兩邊分別落在坐標軸上，且它的面積等于直角梯形面積．將正方形沿軸的正半軸平行移動，設它與直角梯形的重疊部分面積為．

（1）分析與計算：

求正方形的邊長；

（2）操作與求解：

①正方形平行移動過程中，通過操作、觀察，試判斷（＞0）的變化情況是       ；

A．逐漸增大    B．逐漸減少    C．先增大后減少   D．先減少后增大

②當正方形頂點移動到點時，求的值；

（3）探究與歸納：

設正方形的頂點向右移動的距離為，求重疊部分面積與的函數關系式．

試題詳情

2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座六

閱讀理解問題

【知識縱橫】

   閱讀理解的整體模式是：閱讀―理解―應用。重點是閱讀，難點是理解，關鍵是應用，通過閱讀，對所提供的文字、符號、圖形等進行分析和綜合，在理解的基礎上制定解題策略。

【典型例題】

    【例1】（聊城市）一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發，設慢車行駛的時間為，兩車之間的距離為，圖中的折線表示與之間的函數關系．

根據圖象進行以下探究：

信息讀取

（1）甲、乙兩地之間的距離為         km；

（2）請解釋圖中點的實際意義；

圖象理解

（3）求慢車和快車的速度；

（4）求線段所表示的與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

問題解決

（5）若第二列快車也從甲地出發駛往乙地，速度與第一列快車相同．在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇．求第二列快車比第一列快車晚出發多少小時？

【思路點撥】理解圖象的實際意義。

【例2】(江蘇鎮江)理解發現

閱讀以下材料：

對于三個數，用表示這三個數的平均數，用表示這三個數中最小的數．例如：

；；

解決下列問題：

（1）填空：        ；

如果，則的取值范圍為．

（2）①如果，求；

②根據①，你發現了結論“如果，那么         （填的大小關系）”．證明你發現的結論；

③運用②的結論，填空：

若，則       ．

（3）在同一直角坐標系中作出函數，，的圖象（不需列表描點）．通過觀察圖象，填空：的最大值為         ．

     【思路點撥】（2）②，則，．若，可得；（3）作出圖象，通過觀察圖象解答。

【例3】（廣東佛山）我們所學的幾何知識可以理解為對“構圖”的研究：根據給定的（或構造的）幾何圖形提出相關的概念和問題（或者根據問題構造圖形），并加以研究.

例如：在平面上根據兩條直線的各種構圖，可以提出“兩條直線平行”、“兩條直線相交”的概念；若增加第三條直線，則可以提出并研究“兩條直線平行的判定和性質”等問題（包括研究的思想和方法）.

請你用上面的思想和方法對下面關于圓的問題進行研究：

(1) 如圖1，在圓O所在平面上，放置一條直線（和圓O分別交于點A、B），根據這個圖形可以提出的概念或問題有哪些（直接寫出兩個即可）？

(2) 如圖2，在圓O所在平面上，請你放置與圓O都相交且不同時經過圓心的兩條直線和（與圓O分別交于點A、B，與圓O分別交于點C、D）.

請你根據所構造的圖形提出一個結論，并證明之.

(3) 如圖3，其中AB是圓O的直徑，AC是弦，D是的中點，弦DE⊥AB于點F. 請找出點C和點E重合的條件，并說明理由.

【思路點撥】（2）分四種情形討論；(3) 構建關于角的方程。

【學力訓練】

1、（寧波市）閱讀解答：2008年5月1日，目前世界上最長的跨海大橋――杭州灣跨海大橋通車了．通車后，蘇南A地到寧波港的路程比原來縮短了120千米．已知運輸車速度不變時，行駛時間將從原來的3時20分縮短到2時．

（1）求A地經杭州灣跨海大橋到寧波港的路程．

（2）若貨物運輸費用包括運輸成本和時間成本，已知某車貨物從A地到寧波港的運輸成本是每千米1.8元，時間成本是每時28元，那么該車貨物從A地經杭州灣跨海大橋到寧波港的運輸費用是多少元？

（3）A地準備開辟寧波方向的外運路線，即貨物從A地經杭州灣跨海大橋到寧波港，再從寧波港運到B地．若有一批貨物（不超過10車）從A地按外運路線運到B地的運費需8320元，其中從A地經杭州灣跨海大橋到寧波港的每車運輸費用與（2）中相同，從寧波港到B地的海上運費對一批不超過10車的貨物計費方式是：一車800元，當貨物每增加1車時，每車的海上運費就減少20元，問這批貨物有幾車？

2、（溫州市）解方程。由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數軸上與1和－2的距離之和為5的點對應的x的值。在數軸上，1和－2的距離為3，滿足方程的x對應點在1的右邊或－2的左邊，若x對應點在1的右邊，由圖（17）可以看出x＝2；同理，若x對應點在－2的左邊，可得x＝－3，故原方程的解是x=2或x=－3

參考閱讀材料，解答下列問題：

（1）方程的解為                     

（2）解不等式≥9；

（3）若≤a對任意的x都成立，求a的取值范圍.

3、(江蘇鹽城)閱讀理解：對于任意正實數，，

，，只有點時，等號成立．

結論：在（均為正實數）中，若為定值，則，只有當時，有最小值．

根據上述內容，回答下列問題：

若，只有當         時，有最小值          ．

思考驗證：如圖1，為半圓的直徑，為半圓上任意一點，（與點不重合）．過點作，垂足為，，．試根據圖形驗證，并指出等號成立時的條件．

4、（07寧波市）四邊形一條對角線所在直線上的點，如果到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這點為這個四邊形的準等距點．如圖l，點P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點，PD=PB，PA≠PC，則點P為四邊形ABCD的準等距點．

(1)如圖2，畫出菱形ABCD的一個準等距點．

(2)如圖3，作出四邊形ABCD的一個準等距點(尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)．

(3)如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PA≠PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求證：點P是四邊形AB CD的準等距點．

(4)試研究四邊形的準等距點個數的情況(說出相應四邊形的特征及準等距點的個數，不必證明)．

試題詳情

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2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座五

函數、方程、不等式問題

【知識縱橫】

    函數、方程、不等式的結合，是函數某一變量值一定或在某一范圍下的方程或不等式，體現了一般到特殊的觀念。也體現了函數圖像與方程、不等式的內在聯系，例求兩個函數的交點坐標，一般通過函數解析式組成的方程組來解決。又如例4復合了一次函數、二次函數，并對所得的函數要結合自變量的取值范圍來考慮最值，這就需要結合圖像來解決。

【典型例題】

    【例1】（天津市）已知拋物線，

（1）若，，求該拋物線與軸公共點的坐標；

（2）若，且當時，拋物線與軸有且只有一個公共點，求的取值范圍；

（3）若，且時，對應的；時，對應的，試判斷當時，拋物線與軸是否有公共點？若有，請證明你的結論；若沒有，闡述理由．

【思路點撥】（Ⅰ）令y=0，求方程的兩根；（2）考慮判別式；（3）由不等式及結合圖像解之。

【例2】（黃石市）如圖，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式及其頂點的坐標；

（2）設直線交軸于點．在線段的垂直平分線上是否存在點，使得點到直線的距離等于點到原點的距離？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）過點作軸的垂線，交直線于點，將拋物線沿

其對稱軸平移，使拋物線與線段總有公共點．試探究：拋

物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個

單位長度？

【思路點撥】（2）設,建立關于t的方程；

（3）考慮拋物線向上平移、向下平移兩種情況。

【例3】（吉林長春）已知兩個關于的二次函數與當時，；且二次函數的圖象的對稱軸是直線．

（1）求的值；

（2）求函數的表達式；

（3）在同一直角坐標系內，問函數的圖象與的圖象是否有交點？請說明理由．

【思路點撥】（1）＝（y 1 + y 2）―；（2）由對稱軸的方程，求出a的值；（3）考慮方程根的判別式。

【例4】（廣西南寧）隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業戶計劃投資種植花卉及樹木，根據市場調查與預測，種植樹木的利潤與投資量成正比例關系，如圖①所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函數關系，如圖②所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）

（1）分別求出利潤與關于投資量的函數關系式；

（2）如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？

【思路點撥】：（2）設獲得的利潤是萬元，則＝＋，注意x范圍內最值求法。

【學力訓練】

1、（廣州）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于A、B兩點.

（1）根據圖象，分別寫出A、B的坐標；

（2）求出兩函數解析式；

（3）根據圖象回答：當為何值時，一次函數的函數值大于反比例函數的函數值.

2、（江西省卷）已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是，（其中為常數，且）．

（1）請寫出三條與上述拋物線有關的不同類型的結論；

（2）當時，設與軸分別交于兩點（在的左邊），

與軸分別交于兩點（在的左邊），觀察四點坐標，請寫出一個你所得到的正確結論，并說明理由；

（3）設上述兩條拋物線相交于兩點，直線都垂直于軸，分別經過兩點，在直線之間，且與兩條拋物線分別交于兩點，求線段的最大值．

3、（四川自貢）拋物線的頂點為M，與軸的交點為A、B（點B在點A的右側），△ABM的三個內角∠M、∠A、∠B所對的邊分別為m、a、b.若關

于的一元二次方程有兩個相等的實數根.

（1）判斷△ABM的形狀，并說明理由.

（2）當頂點M的坐標為（－2，－1）時，求拋物線的解析式，并畫出該拋物線的大

致圖形.

（3）若平行于軸的直線與拋物線交于C、D兩點，以CD為直徑的圓恰好與軸相切，

求該圓的圓心坐標.

4、（青海省卷）王亮同學善于改進學習方法，他發現對解題過程進行回顧反思，效果會更好．某一天他利用30分鐘時間進行自主學習．假設他用于解題的時間（單位：分鐘）與學習收益量的關系如圖甲所示，用于回顧反思的時間（單位：分鐘）與學習收益量的關系如圖乙所示（其中是拋物線的一部分，為拋物線的頂點），且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間．

（1）求王亮解題的學習收益量與用于解題的時間之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）求王亮回顧反思的學習收益量與用于回顧反思的時間之間的函數關系式；

（3）王亮如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這30分鐘的學習收益總量最大？

（學習收益總量解題的學習收益量回顧反思的學習收益量）

試題詳情

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2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座三

函數及圖像與幾何問題

【知識縱橫】

    函數（本節主要指一次函數、反比例函數）及圖像與幾何問題，是以函數為背景探求幾何性質，這類題很重要點是利用函數的性質，解決幾個主要點的坐標問題，使幾何知識和函數知識有機而自然結合起來，這樣，才能突破難點。但在解這類題目時，要注意方程的解與坐標關系，及坐標值與線段長度關系。

【典型例題】

【例1】（山西太原）如圖，在平面直角坐標系中，直線與交于點，分別交軸于點和點，點是直線上的一個動點．

（1）求點的坐標．

（2）當為等腰三角形時，求點的坐標．

（3）在直線上是否存在點，使得以點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出的值；如果不存在，請說明理由．

    【思路點撥】（1）注意直線方程的解與坐標關系；

（2）當為等腰三角形時，分三種情況討論，．

（3）以點為頂點的四邊形是平行四邊形

三種情形。

【例2】（浙江湖州）已知：在矩形中，，．分別以所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．是邊上的一個動點（不與重合），過點的反比例函數的圖象與邊交于點．

（1）求證：與的面積相等；

（2）記，求當為何值時，有最大值，最大值為多少？

（3）請探索：是否存在這樣的點，使得將沿對折后，點恰好落在上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

【思路點撥】（1）用的代數式表示與的面積； （2）寫出兩點坐標（含的代數式表示），利用三角形面積公式解之；（3）設存在這樣的點，將沿對折后，點恰好落在邊上的點，過點作，垂足為．證．

【例3】（浙江嘉興）如圖，直角坐標系中，已知兩點，點在第一象限且為正三角形，的外接圓交軸的正半軸于點，過點的圓的切線交軸于點．

（1）求兩點的坐標；

（2）求直線的函數解析式；

（3）設分別是線段上的兩個動點，且平分四邊形的周長．

試探究：的最大面積？

【思路點撥】（1）作于；

（2）連結A C,證CD‖OB.（3）通過

幾何圖形建立二次函數模型解之，注意

自變量的取值范圍。

【例4】（07杭州市） 在直角梯形中，，高（如圖1）。動點同時從點出發，點沿運動到點停止，點沿運動到點停止，兩點運動時的速度都是。而當點到達點時，點正好到達點。設同時從點出發，經過的時間為時，的面積為（如圖2）。分別以為橫、縱坐標建立直角坐標系，已知點在邊上從到運動時，與的函數圖象是圖3中的線段。

（1）分別求出梯形中的長度；

（2）寫出圖3中兩點的坐標；

（3）分別寫出點在邊上和邊上運動時，與的函數關系式（注明自變量的取值范圍），并在圖3中補全整個運動中關于的函數關系的大致圖象。

【思路點撥】（1）設動點出發秒后，點到達點且點正好到達點時，由圖3知此時△ABC面積為30. （2）結合（1）的結論寫出兩點的坐標；（3）考慮當點在上時及當點在上時兩種的關于的函數關系式.

【學力訓練】

1、(07臺州市) 如圖，四邊形是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點在軸上，點在軸上，將邊折疊，使點落在邊的點處．已知折疊，且．

（1）判斷與是否相似？請說明理由；

（2）求直線與軸交點的坐標；

（3）是否存在過點的直線，使直線、直線與軸所圍成的三角形和直線、直線與軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應的直線；如果不存在，請說明理由．

2、（浙江衢州）已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，四個頂點的坐標分別為O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，點T在線段OA上(不與線段端點重合)，將紙片折疊，使點A落在射線AB上(記為點A′)，折痕經過點T，折痕TP與射線AB交于點P，設點T的橫坐標為t，折疊后紙片重疊部分(圖中的陰影部分)的面積為S；

(1)求∠OAB的度數，并求當點A′在線段AB上時，S關于t的函數關系式；

(2)當紙片重疊部分的圖形是四邊形時，求t的取值范圍；

(3)S存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值，并求此時t的值；若不存在，請說明理由。

3、（江蘇鹽城）如圖，在平面直角坐標系中，已知△AOB是等邊三角形,點A

的坐標是（0，4），點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連結AP，并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉，使邊AO與AB重合，得到△ABD.

（1）求直線AB的解析式；

（2）當點P運動到點（,0）時，求此時DP的長及點D的坐標；

（3）是否存在點P,使△OPD的面積等于,若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

4、（四川樂山）在平面直角坐標系中△ABC的邊AB在x軸上，且OA>OB,以AB為直徑的圓過點C，若C的坐標為(0,2),AB=5, A,B兩點的橫坐標X_A,X_B是關于X的方程的兩根:

(1)求m，n的值;

(2)若∠ACB的平分線所在的直線交x軸于點D，試求直線對應的一次函數的解析式;

(3)過點D任作一直線分別交射線CA，CB（點C除外）于點M，N，則的值是否為定值，若是，求出定值，若不是，請說明理由.

試題詳情

試題詳情

2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座二

直角坐標下通過幾何圖形列函數式問題

【知識縱橫】

以平面直角坐標系為背景，通過幾何圖形運動變化中兩個變量之間的關系建立函數關系式，進一步研究幾何圖形的性質，體現了數形結合的思想方法。但在坐標系中，每一個坐標由一對的序實數對應，實數的正負之分，而線段長度值均為正的，注意這一點，就可類似于講座一的方法解決。所列函數式有：反比例函數、一次函數、二次函數。

【典型例題】

【例1】（黑龍江齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標系中，點，點分別在軸，軸的正半軸上，且滿足．

（1）求點，點的坐標．

（2）若點從點出發，以每秒1個單位的速度沿射線運動，連結．設的面積為，點的運動時間為秒，求與的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．

（3）在（2）的條件下，是否存在點，使以點為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

【思路點撥】（1）注意坐標值與線段長度關系；

（2）求得（3）分類討論。

【例2】（廣東東莞）將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊AB重合，直角邊不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC與BD相交于點E，連結CD．

(1)填空：如圖1，AC=         ，BD=         ；四邊形ABCD是       梯形.

(2)請寫出圖1中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

(3)如圖2，若以AB所在直線為軸，過點A垂直于AB的直線為軸建立如圖10

的平面直角坐標系，保持ΔABD不動，將ΔABC向軸的正方向平移到ΔFGH的位置，FH與BD相交于點P，設AF=t，ΔFBP面積為S，求S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值值范圍.

                圖1

【思路點撥】（2）有9對相似三角形. ；（3）用t的變量表示相關線段，利用面積公式計算，注意自變量的取值范圍。

【例3】（河北）如圖，直角梯形中，∥,為坐標原點，點在軸正半軸上，點在軸正半軸上，點坐標為（2，2），∠= 60°，于點.動點從點出發，沿線段向點運動，動點從點出發，沿線段向點運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度.設點運動的時間為秒.

（1）       求的長；

（2）       若的面積為（平方單位）. 求與之間的函數關系式.并求為何值時，    的面積最大，最大值是多少？

（3）       設與交于點.①當△為等腰三角形時，求（2）中的值.

②探究線段長度的最大值是多少，直接寫出結論.

【思路點撥】（3）若為等腰三角形，分三種情況

討論，再進行比較，從而求出線段長的最大值。

                                                               圖

【例4】（（甘肅蘭州）如圖1，是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，為原點，點在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上，，．

（1）在邊上取一點，將紙片沿翻折，使點落在邊上的點處，求兩點的坐標；

（2）如圖2，若上有一動點（不與重合）自點沿方向向點勻速運動，運動的速度為每秒1個單位長度，設運動的時間為秒（），過點作的平行線交于點，過點作的平行線交于點．求四邊形的面積與時間之間的函數關系式；當取何值時，有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的條件下，當為何值時，以為頂點的三角形為等腰三角形，并求出相應的時刻點的坐標．

【思路點撥】（1）折痕是四邊形的對稱軸

（2）四邊形為矩形．

（3）為等腰三角形分類討論。

【學力訓練】

1、(諸暨中學)如圖，點A在Y軸上，點B在X軸上，且OA=OB=1，經過原點O的直線L交線段AB于點C，過C作OC的垂線，與直線X=1相交于點P，現將直線L繞O點旋轉，使交點C從A向B運動，但C點必須在第一象限內，并記AC的長為t，分析此圖后，對下列問題作出探究：

（1）當△AOC和△BCP全等時，求出t的值。

（2）通過動手測量線段OC和CP的長來判斷它們之間的

大小關系？并證明你得到的結論。

（3）①設點P的坐標為（1,b）,試寫出b關于t的函數

關系式和變量t的取值范圍。②求出當△PBC為等腰三角形時點P的坐標。

2、 ( 湖北天門)如圖①，在平面直角坐標系中，A點坐標為(3，0)，B點坐標為(0，4)．動

點M從點O出發，沿OA方向以每秒1個單位長度的速度向終點A運動；同時，動點N從點A出發沿AB方向以每秒個單位長度的速度向終點B運動．設運動了x秒．

(1)點N的坐標為(________________，________________)；(用含x的代數式表示)

(2)當x為何值時，△AMN為等腰三角形？

(3)如圖②，連結ON得△OMN，△OMN可能為正三角形嗎？若不能，點M的運動速度不變，

試改變點N的運動速度，使△OMN為正三角形，并求出點N的運動速度和此時x的值．

3、 (吉林省長春市) 如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交軸，軸于兩點，以為邊作矩形，為的中點．以，為斜邊端點作等腰直角三角形，點在第一象限，設矩形與重疊部分的面積為．

（1）求點的坐標．

（2）當值由小到大變化時，求與的函數關系式．

（3）若在直線上存在點，

使等于，請直接寫出的取值范圍．

(4)在值的變化過程中，若為等腰三

角形，請直接寫出所有符合條件的值．

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