6.　　　　 如圖，一個半徑為10米的水輪按逆時針方向每分鐘轉4圈．記水輪上的點P到水面的距離為d米(P在水面下則d為負數)，則d(米)與時間t(秒)之間滿足關系式：，且當P點從水面上浮現時開始計算時間．有以下四個結論：

①A=10；　�、�；　�、�；　�、�k=5．

　　　 則其中所有正確結論的序號是　　　　　　　 �。�

5.　　　　 已知，且其中，則關于的值，在以下四個答案中，可能正確的是　　　　　　　　　　　　(　 )

(A)　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)3 或

(C) 　　　　　　　　　　　　　　　　(D)或

4.　　　　 設是某港口水的深度y(米)關于時間t(時)的函數，其中.下表是該港口某一天從0時至24時記錄的時間t與水深y的關系：

　　　 經長期觀觀察，函數的圖象可以近似地看成函數的圖象.在下面的函數中，最能近似表示表中數據間對應關系的函數是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 (A)　　　　　　 (B)

　　　 (C)　　　　　 (D)

3.　　　　 如圖，要測量河對岸A、B兩點間的距離，今沿河岸選取相距40米的C、D兩點，測得

　　 ∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，則AB的距離是(　　 ).

　　　 (A)20　　　　　　 (B)20　　　　　　 (C)40　　　　　　 (D)20

2.　　　　 已知，且，則　　　　　(　)

(A) 　　　　(B) 　　　　(C) 　　　　(D)

1.　　　 函數的圖象如圖所示，則的解析式可能是　　　　　　 (　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(A)　　 　　　　

(B) 　　　

(C)　 　　　　　　

(D)

6．(1)將條件變形，得.

于是，有

…………

.

將這n-1個不等式疊加，得

　　　 故　　

　　　 (2)注意到，于是由(1)得

，

從而，有　

第三講　　　　　 三角函數

陜西特級教師 　　　　安振平

l　　　　 高考風向標

主要考查三角函數的定義，三角函數的符號，同角三角函數關系式及誘導公式，兩角和與差的三角函數，二倍角的正弦、余弦、正切公式，三角函數的圖象與性質，包括周期性、奇偶性、單調性、和最值性．

l　　　　 典型題選講

　　　 例1 (1)已知：

　　 (2)已知：的值.

點評　三角問題的解決，變形是多途徑的．例如：題1也可以逆向考慮，事實上

例2 　已知電流I與時間t的關系式為．

(1)右圖是(ω＞0，)

在一個周期內的圖象，根據圖中數據求

的解析式；

(2)如果t在任意一段秒的時間內，電流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數值是多少？

　講解　本小題主要考查三角函數的圖象與性質等基礎知識，考查運算能力和邏輯推理能力．

(1)由圖可知 A＝300．

設t₁＝－，t₂＝， 則周期T＝2(t₂－t₁)＝2(+)＝．

∴ ω＝＝150π．　　　　　　　　　 　

又當t＝時，I＝0，即sin(150π·+)＝0，

而， ∴ ＝．

故所求的解析式為．　　　　　　　　　　 　　　

(2)依題意，周期T≤，即≤，(ω>0)

∴ ω≥300π＞942，又ω∈N^*，

故最小正整數ω＝943．　

點評　本題解答的開竅點是將圖形語言轉化為符號語言．其中，讀圖、識圖、用圖是形數結合的有效途徑．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例3　已知函數.

　 (1)求實數a，b的值；

　 (2)求函數的最大值及取得最大值時x的值.

(1)函數

　　 講解　學會翻譯，逐步展開解題思維．

　　 時，函數f(x)的最大值為12.

點評　結論是歷年高考命題的熱點之一．

例4　 已知tan2θ＝－2，π＜2θ＜2π，求.

講解 解題目標中含有角，可向角轉化，以便出現；而條件中的可向轉化. 這樣，就消除了解題目標與解題條件之間中的差異．事實上

原式＝　 　　 　　�。� 　 　　　 ＝　，　 由　　tan2θ＝， 解得　　tanθ＝－或tanθ＝， ∵π＜2θ＜2π，∴＜θ＜π， ∴tanθ＝－　　　 ， ∴原式＝＝3+2．

　　　 點評 差異分析，有時需要從條件和解題目標兩個方向同時進行分析，這種相向而行的思維方式，可以快速聯結解題的思維線路.

例5　 在中，，，，求的值和的面積．

講解　本題是2004年北京高考試題，下面給出兩種解法．

法一　先解三角方程，求出角A的值．

　　 又,

　　 .

　　 法二　由計算它的對偶關系式的值．

　　 　　　　　①

　　 ,

　　 　.　 ②

　　 　 ①　+�、凇〉谩�.

　　 　 ①�。��、凇〉谩�.

　　 從而　．以下解法略去．

點評　本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數學考查運算能力，是一道三角的基礎試題．兩種解法比較起來，你認為哪一種解法比較簡單呢？

例6　設函數f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，x∈R.

(1)若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；

(2)若函數y=2sin2x的圖象按向量c=(m，n)(|m|<)平移后得到函數y=f(x)的圖象，求實數m、n的值.

講解　(1)依題設可知，函數的解析式為

f(x)=a·b＝2cos²x+sin2x=1+2sin(2x+).

由1+2sin(2x+)=1－，可得三角方程

sin(2 x +)=－．　

∵-≤x≤，

∴-≤2x+≤，

∴2x+=-，即x=-．

(2)函數y=2sin2x的圖象按向量c=(m，n)平移后得到函數y=2sin2(x－m)+n的圖象，即函數y=f(x)的圖象.

由(1)得 f(x)=2sin2(x+)+1.

∵|m|<，∴，

點評　本小題是2004年福建高考試題，主要考查平面向量的概念和計算，三角函數的恒等變換及其圖象變換的基本技能，著重考查數學運算能力．平面向量與三角函數結合是高考命題的一個新的亮點之一．

例7　已知向量m=(1,1)，向量n與向量m夾角為，且m·n=－1.

　　 (1)求向量n；

　　 (2)若向量n與向量q=(1，0)的夾角為，向量p=，其中A、C為△ABC的內角，且A、B、C依次成等差數列．求|n+p|的取值范圍．

講解　(1)設①

與夾角為，有·=||·||·，②

由①②解得

(2)由垂直知，

由2B=A+C　 知B= ，A+C=

若

點評　本題的特色是將向量與三角綜合，體現了知識的交匯性．解題后，請你反思：解題思維的入手點，解題思維的障礙點，解題思維的開竅點，只有這樣的反思訓練，請相信，你就會慢慢成為解題高手的．

例8　如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.若BC=a，∠ABC=，設△ABC的面積為S₁，正方形的面積為S₂．

(1)用a，表示S₁和S₂；

　 (2)當a固定，變化時，求取最小值時的角．

講解　(1)∵　

∴

設正方形邊長為x.

　　　 則BQ=　

(2)當固定，變化時，

令

　 　　令　 任取，且，

．

，

是減函數．

取最小值，此時

點評　三角函數有著廣泛的應用，本題就是一個典型的范例．通過引入角度，將圖形的語言轉化為三角的符號語言，再通過局部的換元，又將問題轉化為我們熟知的函數．這些解題思維的拐點，你能否很快的想到呢？

l　　　　 針對性演練

5．(1)由表知，每年比上一年多造林400畝.

　　　　 因為1999年新植1400畝，故當年沙地應降為畝，但當年實際沙地面積為24000畝，所以1999年沙化土地為200畝.

　　　　 同理2000年沙化土地為200畝.

　　　　　　　 所以每年沙化的土地面積為200畝.

(2)由(1)知，每年林木的“有效面積”應比實造面積少200畝.

　　　　 設2000年及其以后各年的造林畝數分別為、、、…，則n年造林面積總和為：

　　　　　　 .

　　　　　 由題意： 化簡得

　　　　　　 　　　　　　　 ,

　　　　　 解得：　 .

　　　　　　　 故8年，即到2007年可綠化完全部沙地.

1．C　　2．　C　3．C　4．A

6．　已知正項數列滿足 ()，且求證

(1)

(2)

　答案