Question

9．如圖，二次函數y₁=ax²+bx+c與x軸交于點A（1，0），B（3，0），且一次函數y₂=mx+n過點A，與二次函數的圖象相交于點C（4，4）
（1）方程ax²+bx+c=mx+n的解是x₁=1，x₂=3
（2）不等式ax²+bx+c＞0的解集是x＜1或x＞3，不等式ax²+bx+c≤0的解集是1≤x≤3．
（3）不等式ax²+bx+c＜mx+n的解集是1＜x＜4．
（4）不等式ax²+bx+c＜-$\frac{4}{3}$的解集是無解．

Answer 1

分析 （1）方程ax²+bx+c=mx+n的解就是二次函數與x軸的交點的橫坐標；
（2）不等式ax²+bx+c＞0的解集是二次函數圖象在x軸上方部分x的范圍；不等式ax²+bx+c≤0的解集是圖象在x軸上或x軸下方部分x的范圍；
（3）不等式ax²+bx+c＜mx+n的解集是二次函數在一次函數的圖象下方部分x的范圍；
（4）首先利用待定系數法求得二次函數的解析式，然后求得縱坐標是-$\frac{4}{3}$時對應的x的值，則不等式解集即可求得．

解答 解：（1）方程ax²+bx+c=mx+n的解是x₁=1，x₂=3，
故答案是：x₁=1，x₂=3；
（2）不等式ax²+bx+c＞0的解集是x＜1或x＞3，不等式ax²+bx+c≤0的解集是1≤x≤3，
故答案是：x＜1或x＞3，1≤x≤3；
（3）不等式ax²+bx+c＜mx+n的解集是：1＜x＜4，
故答案是：1＜x＜4；
（4）根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{16a+4b+c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{16}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
則二次函數的解析式是y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{16}{3}$x+4．
當y=-$\frac{4}{3}$時，$\frac{4}{3}$x²-$\frac{16}{3}$x+4=-$\frac{4}{3}$，解得：x₁=x₂=2．
即二次函數的頂點的縱坐標是-$\frac{4}{3}$．
則不等式ax²+bx+c＜-$\frac{4}{3}$無解．
故答案是：無解．

點評 本題考查了二次函數與不等式的關系，理解二次函數的圖象與不等式的關系是解決本題的關鍵．