Question

11．二次函數y=x²-2ax+2a+3分別滿足下列條件時，求a的取值范圍．
（1）拋物線過原點；
（2）拋物線的頂點在x軸上；
（3）函數的最小值是3；
（4）當x＞3時，y隨x的增大而增大；當x＜3時，y隨x的增大而減�。�

Answer 1

分析 （1）拋物線過原點，也就是2a+3=0，求得a的數值即可；
（2）由頂點坐標在x軸上可知其最小值為0，即當x=a時，y有最小值0，代入可求得a；
（3）當x=a時，y有最小值3，代入可求得a；
（4）由條件可知其對稱軸為x=3，代入x=-$\frac{2a}$可求得a的值．

解答 解：二次函數y=x²-2ax+2a+3開口向上，對稱軸方程為x=a，所以當x=a時有最小值，最小值為y=-a²+2a+3，
（1）拋物線過原點，則2a+3=0，a=-$\frac{3}{2}$；
（2）當頂點在x軸上時，可知其最小值為0，則有-a²+2a+3=0，解得a=3或-1，
所以當a=3或-1時，拋物線的頂點在x軸上；
（3）當最小值是3時，即-a²+2a+3=3，解得a=0或a=2，
所以當a=0或2時，二次函數的最小值為3；
（4）當x＞3時，y隨x的增大而增大；當x＜3時，y隨x的增大而減小，可知二次函數對稱軸為x=3，
即a=3，所以當a=3時，二次函數滿足當x＞3時，y隨x的增大而增大；當x＜3時，y隨x的增大而減�。�

點評 此題考查二次函數的性質，掌握二次函數的最值、對稱軸的求法以及函數的增減性是解題的關鍵．