Question

7．在等邊△ABC中，D為線段BC上一點，CE是∠ACB外角的平分線，∠ADE=60°，EF⊥BC于F．求證：
（1）AD=DE；
（2）BC=DC+2CF．

Answer 1

分析 （1）過D作DG∥AC交AB延長線于G，證得△AGD≌△DCE，得出AD=DE；
（2）進一步利用GD=CE，BD=CE得出BC=DC+2CF．

解答 證明：（1）如圖，

過D作DG∥AC交AB于G
∵△ABC是等邊三角形，AB=BC，
∴∠B=∠ACB=60°
∴∠BDG=∠ACB=60°，
∴∠BGD=60°
∴△BDG是等邊三角形，
∴BG=BD
∴AG=DC
∵CE是∠ACB外角的平分線，
∴∠DCE=120°=∠AGD
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°=∠ADB+∠DAG
∴∠EDC=∠DAG，
在△AGD和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGD=∠DCE}\\{AG=DC}\\{∠EDC=∠DAG}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△DCE（SAS）
∴AD=DE
 （2）∵△AGD≌△DCE，
∴GD=CE，
∴BD=CE
∴BC=CE+DC=DC+2CF．

點評 此題主要考查了等邊三角形的性質以及全等三角形的判定，關鍵是利用邊角關系以及等量代換求得結論．