Question

3．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4$\sqrt{5}$，CD=8．
（1）求∠ADC的度數；
（2）求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）連接BD，首先證明△ABD是等邊三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理證明△BDC是直角三角形，進而可得答案；
（2）過B作BE⊥AD，利用三角形函數計算出BE長，再利用△ABD的面積加上△BDC的面積可得四邊形ABCD的面積．

解答 解：（1）連接BD，
∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ADB=60°，DB=4，
∵4²+8²=（4$\sqrt{5}$）²，
∴DB²+CD²=BC²，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=60°+90°=150°；

（2）過B作BE⊥AD，
∵∠A=60°，AB=4，
∴BE=AB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴四邊形ABCD的面積為：$\frac{1}{2}$AD•EB+$\frac{1}{2}$DB•CD=$\frac{1}{2}$×4×$2\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×4×8=4$\sqrt{3}$+16．

點評 此題主要考查了勾股定理逆定理，以及等邊三角形的判定和性質，關鍵是掌握有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a²+b²=c²，那么這個三角形就是直角三角形．