Question

13．如圖①，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，點D為AC上一動點，連接BD，以BD為邊作等邊△BDE，設CD=n．
（1）當n=1時，EA的延長線交BC的延長線于F，則AF=2；
（2）當0＜n＜1時，如圖②，在BA上截取BH=AD，連接EH．
①設∠CBD=x，用含x的式子表示∠ADE和∠ABE．
②求證：△AEH為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）根據三角形內角和定理求出∠BAC=60°，再根據平角等于180°求出∠FAC=60°，然后求出∠F=30°，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求解即可；
（2）①根據三角形的任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和利用∠CBD表示出∠ADE=30°+∠CBD，又∠HBE=30°+∠CBD，從而得到∠ADE=∠ABE；②然后根據邊角邊證明△ADE與△HBE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=HE，對應角相等可得∠AED=∠HEB，然后推出∠AEH=∠BED=60°，再根據等邊三角形的判定即可證明．

解答 （1）解：∵△BDE是等邊三角形，
∴∠EDB=60°，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=180°-90°-30°=60°，
∴FAC=180°-60°-60°=60°，
∴∠F=180°-90°-60°=30°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=180°-90°，
∴AF=2AC=2×1=2；
故答案為：2．

（2）①證明：∵△BDE是等邊三角形，
∴BE=BD，∠EDB=∠EBD=60°，
在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C，
即∠ADE+60°=∠CBD+90°=x+90°，
∴∠ADE=30°+∠CBD，
∵∠HBE+∠ABD=60°，∠CBD+∠ABD=30°，
∴∠HBE=30°+∠CBD，
∴∠ADE=∠HBE，
∴∠ABE=∠ADE=x+30°；
②在△ADE與△HBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=AD}\\{∠ADE=∠HBE}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△HBE（SAS），
∴AE=HE，∠AED=∠HEB，
∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，
即∠AEH=∠BED=60°，
∴△AEH為等邊三角形．

點評 本題考查了30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質與判定，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，（2）中求出∠ADE=∠HBE是解題的關鍵．