Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對角線（不含點）上任意一點，將繞點逆時針旋轉得到，連接、、.設點的坐標為.

（1）若建立平面直角坐標系，滿足原點在線段上，點，.且（），則點的坐標為 ，點的坐標為 ；請直接寫出點縱坐標的取值范圍是 ；

（2）若正方形的邊長為2，求的長，以及的最小值. (提示：連結:，)

Answer 1

【答案】（1），，；（2），.

【解析】

（1）如圖1，以直線BD為x軸，直線AC為y軸，建立平面直角坐標系，根據正方形的性質得到OA=OB=OC=OD，由點B（-1，0），A（0，1），于是得到D（1，0），C（0，-1）；過N作NH⊥BD于h，根據旋轉的性質得到∠NBH=60°，BM=BN，求得NH=BN=t，于是得到結論；
（2）如圖所示，連接MN，過E作EH⊥BC，交CB的延長線于H，由旋轉的性質得到BM=BN，∠NBM=60°，求得△BMN是等邊三角形，求得MN=BM，根據等邊三角形的性質得到BE=BA，∠ABE=60°，求得∠ABM=∠EBN，根據全等三角形的性質得到AM=EN，求得AM+BM+CM=EN+MN+CM，當E，N，M，C在同一直線上時，AM+BM+CN的最小值是CE的長，解直角三角形即可得到結論．

解：（1）如圖1，以直線為軸，直線為軸，建立平面直角坐標系，

∵四邊形是正方形

∴

∵點，

∴，

過作于

∴

∵將繞點逆時針旋轉得到，

∴

∴

∵

∴點縱坐標的取值范圍是

故答案為：，，

（2）如圖所示，連接，過作，交的延長線于，

由旋轉可得，，，

∴是等邊三角形，

∴

∵是等邊三角形

∴

∴

∴≌（）

∴

∴

∴當，，，在同一直線上時，的最小值是的長，

又∵，

∴

∴中，

∴

∴

∴中，

∴的最小值為