Question

12．己知拋物線y=x²+2mx-n與x軸沒有交點，則m+n的取值范圍是＜$\frac{1}{4}$且m≠0，n≠0．

Answer 1

分析 由拋物線y=x²+2mx-n與x軸沒有交點，得到a=1＞0，推出函數值y＞0，得到n＜0，求出拋物線的對稱軸x=-$\frac{2a}$=-$\frac{1}{2}$，于是得到y=x²+2mx-n=$\frac{1}{4}$-m-n=$\frac{1}{4}$-（m+n）＞0，即可得到結論．

解答 解：∵拋物線y=x²+2mx-n與x軸沒有交點，
∴△=4m²+4n＜0
∴n＜-m²
∴m+n＜m-m²=-（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$
∴m+n＜$\frac{1}{4}$
當m=0，n=$\frac{1}{8}$，拋物線y=x²+2mx-n與x軸有交點，
∵n＜0，
∴m+n的取值范圍是＜$\frac{1}{4}$且m≠0，n≠0．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點問題，注：當拋物線y=ax²+bx+c與軸有兩個交點時，一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不等的實數根即△＞0；當拋物線y=ax²+bx+c與軸有一個交點時，一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個相等的實數根即△=0；當拋物線y=ax²+bx+c與軸無交點時，一元二次方程ax²+bx+c=0無實數根即△＜0．