Question

20．閱讀下列一段文字，然后回答下列問題．已知在平面內兩點P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），其兩點間的距離P₁P₂=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$同時，當兩點所在的直線在坐標軸或平行于坐標軸或垂直于坐標軸時，兩點間距離公式可簡化為|x₂-x₁|或|y₂-y₁|．
（1）已知A（-2，3）、B（4，-5），試求A、B兩點間的距離；
（2）已知A、B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標為6，點B的縱坐標為-2，試求A、B兩點間的距離．
（3）已知一個三角形各頂點坐標為A（0，6）、B（-3，2）、C（3，2），請判定此三角形的形狀，并說明理由．
（4）已知一個三角形各頂點坐標為A（-1，3）、B（0，1）、C（2，2），請判定此三角形的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用兩點間的距離公式計算；
（2）根據平行于y軸的直線上所有點的橫坐標相同，所以A、B間的距離為兩點的縱坐標之差的絕對值；
（3）先利用兩點間的距離公式計算出AB、BC、AC，然后根據等腰三角形的定義可判斷△ABC為等腰三角形；
（4）先利用兩點間的距離公式計算出AB、BC、AC，然后根據等腰三角形的定義和勾股定理的逆定理可判斷△ABC為等腰直角三角形．

解答 解：（1）AB=$\sqrt{（-2-4）^{2}+（3+5）^{2}}$=10；
（2）AB=6-（-2）=8；
（3）△ABC為等腰三角形．理由如下：
∵AB=$\sqrt{{3}^{2}+（6-2）^{2}}$=5，BC=3-（-3）=6，AC=$\sqrt{{3}^{2}+（6-2）^{2}}$=5，
∴AB=AC，
∴△ABC為等腰三角形；
（3）∴△ABC為等腰直角三角形．理由如下：
∵AB=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（3-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{（0-2）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（3-2）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
而（$\sqrt{5}$）²+（$\sqrt{5}$）²=（$\sqrt{10}$）²，
∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC為等腰直角三角形．

點評 本題考查了兩點間的距離公式：設有兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則這兩點間的距離為AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$．求直角坐標系內任意兩點間的距離可直接套用此公式．也考查了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理．