Question

12．如圖，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，∠EDO=15°．
（1）試比較線段AO與AE的大�。�并證明你的結論；
（2）連接OE，求∠AOE的大�。�

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是矩形，DE平分∠ADC知∠CDE=∠CED=45°，得出△ADE是等腰直角三角形，AD=AE，再證出△OAD是等邊三角形，得出AD=AO=DO，即可得出結論；
（2）由等邊三角形的性質得出∠DAO=60°，得出∠OAE=30°，再由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可得出結果．

解答 解：（1）AO=AE；理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=90°，AO=DO，
∵DE平分∠ADC
∴∠CDE=∠ADE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=AE，
又∵∠EDO=15°，
∴∠ADO=60°；
∴△OAD是等邊三角形；
∴AD=AO=DO，
∴AO=AE；
（2）∵△OAD是等邊三角形，
∴∠DAO=60°，
∴∠OAE=90°-∠DAO=30°，
∵AO=AE，
∴∠AOE=（180°-30°）÷2=75°．

點評 本題考查了矩形的性質、等腰三角形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質；熟練掌握矩形的性質，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵．