Question

【題目】如圖直角坐標系中，以M（3，0）為圓心的⊙M交x軸負半軸于A，交x軸正半軸于B，交y軸于C、D．

（1）若C點坐標為（0，4），求點A坐標．

（2）在（1）的條件下，在⊙M上，是否存在點P，使∠CPM=45°，若存在，求出滿足條件的點P．

（3）過C作⊙M的切線CE，過A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，當⊙M的半徑大小發生變化時．AN的長度是否變化？若變化，求變化范圍，若不變，證明并求值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0）；（2）P1（7，3），P2（﹣1，﹣3）；（3）AN的長不變為6．

【解析】

（1）結合題意，連接CM，根據點M和點C的坐標可得出⊙M的半徑，即MA的長，利用M的坐標即可得出A的坐標；

（2）假設存在這樣的點P，根據題意，可知△CMP為等腰直角三角形，且CM=MP=5．根據圓的方程和兩點直接的距離公式列出方程組，解之即可得出點P的坐標；

（3）作MH⊥AN于H，則AH=NH，易證△AMH≌△MCO，故AH=M0．從而可證AH為一定值．

（1）如圖①，連接CM，

在Rt△COM中，OC=4，OM=3，CM==5，

∴AM=5，

∴OA=2，

∴A（-2，0）；

（2）假設存在這樣的點P（x，y），結合題意，

可得△CMP為等腰直角三角形，且CM=PM=5，

故CP=5；

結合題意有，

；

解之得：

，

即存在兩個這樣的點P；

P1（7，3），P2（﹣1，﹣3）；

（3）AN的長不變為6．

如圖②，連接CM，作MH⊥AN于H，

則AH=HN，

∵EC切⊙M，

∴∠ECM=90°，

∴四邊形DMCF是矩形，

∴∠CMH=90°，

在△AMH和△MCO中，

∵∠CMO=∠MAH=90°-∠AMH，

∠COM=∠ADM=90°，

CM=AM，

∴△AMH≌△MCO，

∴AH=MO=3，

即AN=HN+AH=3+3=6．