Question

11．如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB長為2．
（1）求點O到AB的距離．
（2）若點C為⊙O上一點（不與點A，B重合），求∠BCA的度數．

Answer 1

分析 （1）過點O作OC⊥AB于點C，證出△OAB是等邊三角形，繼而求得∠AOB的度數，然后由三角函數的性質，求得點O到AB的距離；
（2）證出△ABO是等邊三角形得出∠AOB=60°． 再分兩種情況：點C在優弧$\widehat{ACB}$上，則∠BCA=30°；點C在劣弧$\widehat{AB}$上，則∠BCA=$\frac{1}{2}$（360°-∠AOB）=150°；即可得出結果．

解答 解：（1）過點O作OD⊥AB于點D，連接AO，BO．如圖1所示：
∵OD⊥AB且過圓心，AB=2，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=1，∠ADO=90°，
在Rt△ADO中，∠ADO=90°，AO=2，AD=1，
∴OD=$\sqrt{A{O}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
即點O到AB的距離為$\sqrt{3}$．
（2）如圖2所示：
∵AO=BO=2，AB=2，
∴△ABO是等邊三角形，
∴∠AOB=60°． 
若點C在優弧$\widehat{ACB}$上，則∠BCA=30°；
若點C在劣弧$\widehat{AB}$上，則∠BCA=$\frac{1}{2}$（360°-∠AOB）=150°；
綜上所述：∠BCA的度數為30°或150°．

點評 此題考查了垂徑定理、等邊三角形的判定與性質、三角函數、弧長公式．熟練掌握垂徑定理，證明△OAB是等邊三角形是解決問題的關鍵．