Question

19．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，動點M從A點出發，以每秒2個單位長度的速度向B點運動；動點N也從A點同時出發，以每秒1個單位長度的速度向C點運動．當M，N有一點到達終點時，兩點都停止運動．
（1）AB的長為10；
（2）△MCN的面積的最大值是$\frac{48}{5}$．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理直接計算即可求出AB的長；
（2）過點M，作MD⊥AC于點D，首先求出△MCN面積的表達式，利用二次函數的性質，求出△MCN面積最大值．

解答 解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10．
故答案為10；
（2）過點M，作MD⊥AC于點D，
∵BC⊥AC，
∴MD∥BC，
∴△AMD∽△ABC，
∴ND：BC=AM：AB，
∵動點M從A點出發，以每秒2個單位長度的速度向B點運動；動點N也從A點同時出發，以每秒1個單位長度的速度向C點運動，
∴AM=2t，NC=AC-AN=8-t，
∴$\frac{MD}{6}=\frac{2t}{10}$，
∴MD=$\frac{6}{5}$t，
∴S_△MNC=$\frac{1}{2}$NC•MD=$\frac{1}{2}$（8-t）•$\frac{6}{5}$t=-$\frac{3}{5}$（t-4）²+$\frac{48}{5}$，
∵當M，N有一點到達終點時，兩點都停止運動，
∴0≤t≤5，
∴△MCN的面積的最大值是$\frac{48}{5}$．
故答案為$\frac{48}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理的運用以及二次函數的最值等知識點．試題難度不大，需要注意的是（2）問中，自變量取值區間上求最大值，而不能機械地套用公式．