Question

8．當x分別取-$\frac{1}{2017}$、-$\frac{1}{2016}$、-$\frac{1}{2015}$、…、-$\frac{1}{2}$、-2、-1、0、1、2、…、2015、2016、2017時，計算分式$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$的值，再將所得結果相加，其和等于-$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 $\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{1-\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=-$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}-1}{\frac{1}{{x}^{2}}+1}$=-（1-$\frac{2}{\frac{1}{{x}^{2}}+1}$）=$\frac{2}{（\frac{1}{x}）^{2}+1}$-1把x是分數的情況代入，$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{{x}^{2}+1-2}{{x}^{2}+1}$=1-$\frac{2}{{x}^{2}+1}$把x是整數時代入，然后求值即可．

解答 解：$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{1-\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=-$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}-1}{\frac{1}{{x}^{2}}+1}$=-（1-$\frac{2}{\frac{1}{{x}^{2}}+1}$）=$\frac{2}{（\frac{1}{x}）^{2}+1}$-1，
$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{{x}^{2}+1-2}{{x}^{2}+1}$=1-$\frac{2}{{x}^{2}+1}$，
則當x=-$\frac{1}{2017}$、-$\frac{1}{2016}$、-$\frac{1}{2015}$、…、-$\frac{1}{2}$時，代入后所得結果的和是【$\frac{2}{（-2017）^{2}+1}$-1】+【$\frac{2}{（-2016）^{2}+1}$-1】+…+【$\frac{2}{（-2）^{2}+1}$-1】=$\frac{2}{201{7}^{2}+1}$+$\frac{2}{201{6}^{2}+1}$+…+$\frac{2}{{2}^{2}+1}$-2016，
x=-2、-1、0、1時，代入所得的式子的和是：【1-$\frac{2}{{2}^{2}+1}$】+【1-$\frac{2}{{1}^{2}+1}$】+【1-$\frac{2}{1}$】+【1-$\frac{2}{{1}^{2}+1}$】=$\frac{3}{5}$+0-1-0=-$\frac{2}{5}$．
當x=2、…、2015、2016、2017時，代入所得結果的和是【1-$\frac{2}{{2}^{2}+1}$】+…+【1-$\frac{2}{201{6}^{2}+1}$】+【1-$\frac{2}{201{7}^{2}+1}$】=$\frac{3}{5}$+0+0-0-（$\frac{2}{{2}^{2}+1}$+$\frac{2}{{3}^{2}+1}$+…+$\frac{2}{201{6}^{2}+1}$+$\frac{2}{201{7}^{2}+1}$）+2016=2016-（$\frac{2}{201{7}^{2}+1}$+$\frac{2}{201{6}^{2}+1}$+…+$\frac{2}{{2}^{2}+1}$）
則x分別取-$\frac{1}{2017}$、-$\frac{1}{2016}$、-$\frac{1}{2015}$、…、-$\frac{1}{2}$、-2、-1、0、1、2、…、2015、2016、2017時，計算分式$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$的值，再將所得結果相加是-$\frac{2}{5}$．
故答案是：-$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查了分式的化簡求值，正確對x的值分別進行變形是解決本題的關鍵．