Question

20．小明在課外學習時遇到這樣一個問題：
定義：如果二次函數y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常數）與y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常數）滿足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”．求y=-x²+3x-2函數的“旋轉函數”．
小明是這樣思考的：由y=-x²+3x-2函數可知a₁=-1，b₁=3，c₁=-2，根據a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0求出a₂，b₂，c₂，就能確定這個函數的“旋轉函數”．
請參考小明的方法解決下面的問題：
（1）寫出函數y=-x²+3x-2的“旋轉函數”；
（2）若函數y₁=x²-$\frac{4n}{3}$x+n與y₂=-x²+mx-3互為“旋轉函數”，求（m+n）²⁰¹⁶的值；
（3）已知函數y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關于原點的對稱點分別是A₁、B₁、C₁，試證明經過點A₁、B₁、C₁的二次函數與函數y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）互為“旋轉函數”．

Answer 1

分析 （1）根據“旋轉函數”的定義求出a₂，b₂，c₂，從而得到原函數的“旋轉函數”；
（2）根據“旋轉函數”的定義得到-$\frac{4n}{3}$=m，-3+n=0，再解方程組求出m和n的值，然后根據乘方的意義計算；
（3）先根據拋物線與坐標軸的交點問題確定A（1，0），B（-4，0），C（0，-2），再利用關于原點對稱的點的坐標特征得到A₁（-1，0），B₁（4，0），C₁（0，2），則可利用交點式求出經過點A₁，B₁，C₁的二次函數解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，再把y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）化為一般式，然后根據“旋轉函數”的定義進行判斷．

解答 （1）解：∵a₁=-1，b₁=3，c₁=-2，
∴-1+a₂=0，b₂=3，-2+c₂=0，
∴a₂=1，b₂=3，c₂=2，
∴函數y=-x²+3x-2的“旋轉函數”為y=x²+3x+2；
（2）解：根據題意得-$\frac{4n}{3}$=m，-3+n=0，解得m=-4，n=3，
∴（m+n）²⁰¹⁶=（-4+3）²⁰¹⁶=1；
（3）證明：當x=0時，y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=-2，則C（0，-2），
當y=0時，$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=0，解得x₁=1，x₂=-4，則A（1，0），B（-4，0），
∵點A、B、C關于原點的對稱點分別是A₁，B₁，C₁，
∴A₁（-1，0），B₁（4，0），C₁（0，2），
設經過點A₁，B₁，C₁的二次函數解析式為y=a₂（x+1）（x-4），把C₁（0，2）代入得a₂•1•（-4）=2，解得a₂=-$\frac{1}{2}$，
∴經過點A₁，B₁，C₁的二次函數解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
而y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2，
∴a₁+a₂=$\frac{1}{2}$+（-$\frac{1}{2}$）=0，b₁=b₂=$\frac{3}{2}$，c₁+c₂=-2+2=0，
∴經過點A₁、B₁、C₁的二次函數與函數y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）互為“旋轉函數”．

點評 本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握關于原點對稱的兩點的坐標特征；會求二次函數圖象與坐標軸的交點和待定系數法求二次函數解析式；對新定義的理解能力．