Question

13．如圖，是一個圓柱形的餅干盒，在盒子外側下底面的點A處有甲、乙兩只螞蟻，它們都想要吃到上底面外側B′處的食物：甲螞蟻沿A→A′→B′的折線爬行，乙螞蟻沿圓柱的側面爬行：若∠AOB=∠A′O′B′=90°（AA′、BB′都與圓柱的中軸線OO′平行），圓柱的底面半徑是12cm，高為1cm，則：
（1）A′B′=12$\sqrt{2}$cm，甲螞蟻要吃到食物需爬行的路程長l₁=12$\sqrt{2}$+1 cm；
（2）乙螞蟻要吃到食物需爬行的最短路程長l₂=5$\sqrt{13}$ cm（π取3）；
（3）若兩只螞蟻同時出發，且爬行速度相同，在乙螞蟻采取最佳策略的前提下，哪只螞蟻先到達食物處？請你通過計算或合理的估算說明理由．（參考數據：π取3，$\sqrt{2}$≈1.4）

Answer 1

分析 （1）由∠A′O′B′=90°，可知△B′A′O′為等腰直角三角形，故此A′B′=$\sqrt{2}$A′O′，然后根據l₁=A′B′+AA′求解即可；
（2）先求得弧A′B′的長，然后根據勾股定理求得矩形AA′B′B的對角線的長度即可；
（3）將$\sqrt{2}$≈1.4代入從而可求得l₁、l₂的近似值，從而可作出判斷．

解答 解：（1）∵∠A′O′B′=90°，O′A′=O′B′，
∴A′B′=A′B′=$\sqrt{2}$A′O′=12$\sqrt{2}$．
∴l₁=A′B′+AA′=12$\sqrt{2}$+1．
故答案為：12$\sqrt{2}$；12$\sqrt{2}$+1．
（2）$\widehat{A′B′}$=$\frac{90°×2π×12}{360°}$=6π=18．
將圓柱體的側面展開得到如圖1所示矩形AA′B′B．

∵$\widehat{A′B′}$=18，
∴A′B′=18．
在Rt△ABB′中，AB′=$\sqrt{BB{′}^{2}+A′B{′}^{2}}$=$\sqrt{1{8}^{2}+{1}^{1}}$=5$\sqrt{13}$．
故答案為：5$\sqrt{13}$．
（3）∵l₁=12$\sqrt{2}$+1≈12×1.2+1=15.4
∴${l}_{1}^{2}$=237.16．
∵${l}_{2}^{2}$=$（5\sqrt{13}）^{2}$=324，
∴${l}_{1}^{2}＜{l}_{2}^{2}$．
∴l₁＜l₂．
∴甲螞蟻先到達食物處．

點評 本題主要考查的是平面展開路徑最短、勾股定理的應用、扇形的弧長公式的應用，將圓柱體的側面展開求得l₂的長度是解題的關鍵．