Question

2．如圖，△ABC中，AC=BC，點D在BC上，作∠ADF=∠B，DF交外角∠ACE的平分線CF于點F．
（1）求證：CF∥AB；
（2）若∠CAD=20°，求∠CFD的度數．

Answer 1

分析 （1）根據三角形的性質得到∠B=∠BAC，由三角形外角的性質得到∠ACE=∠B+∠BAC，求得∠BAC=$\frac{1}{2}∠ACE$，由角平分線的定義得到∠ACF=∠ECF=$\frac{1}{2}∠ACE$，等量代換得到∠BAC=∠ACF，根據平行線的判定定理即可得到結論；
（2）由等量代換得到∠ACF=∠ADF，根據三角形的內角和得到∠ADF+∠CAD+∠AGD=180°，∠ACF+∠F+∠CGF=180°，由于∠AGD=∠CGF，即可得到結論．

解答 （1）證明：∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC，
∵∠ACE=∠B+∠BAC，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}∠ACE$，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF=∠ECF=$\frac{1}{2}∠ACE$，
∴∠BAC=∠ACF，
∴CF∥AB；

（2）解：∵∠BAC=∠ACF，∠B=∠BAC，∠ADF=∠B，
∴∠ACF=∠ADF，
∵∠ADF+∠CAD+∠AGD=180°，∠ACF+∠F+∠CGF=180°，
又∵∠AGD=∠CGF，
∴∠F=∠CAD=20°．

點評 本題考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，角平分線的定義，三角形外角的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．