Question

【題目】如圖，直線與頂點為的拋物線的交點在軸上，交點在軸上．

（1）求拋物線的解析式．

（2）是否為直角三角形，請說明理由．

（3）在第二象限的拋物線上，是否存在異于頂點的點，使與的面積相等？若存在，求出符合條件的點坐標．若不存在，請說明理由．

（4）在第三象限的拋物線上求出點，使．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不是直角三角形，理由見解析；（3）存在，；（4）點.

【解析】

（1）待定系數法即可求出；

（2）取中點，根據點的坐標關系判斷即可證明；

（3）設的解析式為，代入D點坐標可求出，通過解方程，若有解，即可證明存在；

（4）設直線的解析式為并求出，進而可求出直線的解析式，聯立BF與拋物線解析式即可求得.

解：（1）如圖，

由知，，．

則拋物線．

將代入，得．

∴．

∴拋物線解析式為．

（2）不是直角三角形．理由如下

由（1），，

∴頂點．

如圖，由（1），可得．

取中點．

則．∴．

∵，∴不是直角三角形．

（3）如圖，存在點，使．

設經過點與平行的直線的解析式為．

將代入，得．∴．

∴的解析式為．

由，整理，得．

解得，．

當時，．

∴．

（4）如圖，設直線的解析式為．

則解得，．

∴直線的解析式為．

∴經過點與平行的直線的解析式為．

由，整理，得．

解得，或．

當時，．

∴拋物線上點，滿足．