Question

8．如圖，△ABC內接于⊙O，且∠B=60°，CD是⊙O的直徑，過點A的切線交CD的延長線于點P．
（1）求證：AP=AC；
（2）若PD=$\sqrt{3}$，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）連結OA、AD，如圖，根據圓周角定理得到∠DAC=90°，∠ADC=∠B=60°，則∠ACD=30°，再根據切線的性質得∠OAP=90°，接著計算出∠P=30°，即∠P=∠ACP，然后根據等腰三角形的判定定理即可得到結論；
（2）在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到OP=2OA，即OD+PD=2OA，于是可計算出OA，從而得到⊙O的直徑．

解答 （1）證明：連結OA、AD，如圖，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DAC=90°，
∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACD=30°，
∵PA為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵∠AOD=2∠ACD=60°，
∴∠P=90°-60°=30°，
∴∠P=∠ACP，
∴AP=AC；
（2）解：在Rt△AOP中，∵∠P=30°，
∴OP=2OA，
即OD+PD=2OA，
∴OA+$\sqrt{3}$=2OA，解得OA=$\sqrt{3}$，
∴⊙O的直徑為2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．