Question

2．如圖，已知二次函數y=ax²-4x+c的圖象經過點A（-1，-1）和點B（3，-9）．
（1）求該二次函數的表達式；
（2）直接寫出拋物線的對稱軸及頂點坐標；
（3）點P（m，m）與點Q均在該函效圖象上（其中m＞0），且這兩點關于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q到x軸的距離．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法確定二次函數的解析式；
（2）把（1）中得到的解析式配成頂點式，然后根據二次函數的性質確定頂點坐標和對稱軸．
（3）將P（m，m）坐標代入y=x²-4x-6，得m=m²-4m-6，解方程求得m的值，根據題意得到m=6，從而求得P的坐標，根據點P與點Q關于對稱軸x=2對稱，所以點Q到x軸的距離為6．

解答 解：（1）將A（-1，-1）和點B（3，-9）代入y=ax²-4x+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{-1=a+4+c}\\{-9=9a-12+c}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
所以二次函數的表達式為y=x²-4x-6；
（2）由y=x²-4x-6=（x-2）²-10可知：
對稱軸為x=2；頂點坐標為（2，-10）；
（3）將P（m，m）坐標代入y=x²-4x-6，得m=m²-4m-6．
解得m₁=-1，m₂=6．
因為m＞0，所以m=-1不合題意，舍去．所以m=6，
所以P點坐標為（6，6）；
因為點P與點Q關于對稱軸x=2對稱，所以點Q到x軸的距離為6．

點評 本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質以及二次函數圖象上點的坐標特征．熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．