Question

三等分任意角是三大幾何作圖不能問題之一，古希臘數學家阿基米德就設計出了一個巧妙的三等分角的方法：在直尺邊緣上添加一點P，命尺端為O(如圖①)；設所要三等分的角是∠MCN，以C為圓心，OP為半徑作半圓交給定角的兩邊CM、CN于A、B兩點；移動直尺，使直尺上的O點在AC的延長線上移動，P點在圓周上移動，當直尺正好通過B點時，連OPB，則有∠AOB=∠MCN．這種方法由于在直尺上作了一個記號，不符合尺規作圖中直尺只能用來連線的規定，因此還不能算是嚴格意義上的尺規作圖．
(1)動手實踐操作，用以上方法三等分∠MCN，在圖②中畫出圖形并標明相應字母；
(2)請你就阿基米德的作圖方法給出證明．

Answer 1

 

詳解：(1)如圖②所示：

(2)如圖②，∵OP=PC=BC，
∴∠O=∠PCO，∠1=∠2，
設∠O=∠PCO=x，
∴∠O+∠PCO=∠1=∠2=2x，
∴∠3=∠O+∠2=3x，
∴∠AOB=∠MCN．