Question

【題目】如圖（1），已知∠,點為射線上一點，且，、為射線和上的兩個動點（），過點作⊥，垂足為點，且，聯結．

（1）若時，求的值；

（2）設，求與之間的函數解析式，并寫出定義域；

（3）如圖(2)，過點作的垂線，垂足為點，交射線于點，點、在射線和上運動時，探索線段的長是否發生變化？若不發生變化，求出它的值。若發生變化，試用含x的代數式表示的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(x>2)；（3）OQ的長度等于3.

【解析】

（1）根據有兩對角相等的三角形相似可證明△CAP∽△COB，由相似三角形的性質可知：，在由已知條件可求出OB的長，由正切的定義計算即可；

（2）作AE⊥PC于E，易證△PAE∽△PCA，根據相似三角形的性質：對應邊的比值相等，再利用平行線的性質即可得到 ，所以，整理即可得到求y與x之間的函數解析式，并寫出定義域即可；

（3）點B、C在射線OM和ON上運動時，探索線段OQ的長不發生變化，由△PAH∽△PBA得：，即PA=PHPB，由△PHQ∽△POB得：即PQPO=PHPB，所以PA=PQPO，再由已知數據即可求出OQ的長．

（1）∵∠ACP=∠OCB ∠CAP=∠O=90°

∴△CAP∽△COB

∴

∵

∴

∴

∵AP=2

∴

在Rt△OBP中，

（2）作AE⊥PC，垂足為E，

易證△PAE∽△PCA

∴

∴

∴

∵∠MON=∠AEC=90°

∴ AE∥OM

∴

∴

整理得(x>2)

（3）線段OQ的長度不會發生變化

由△PAH∽△PBA

得

即

由△PHQ∽△POB

得

即

∴

∵PA=2 PO=4

∴PQ=1

∴OQ=3

即OQ的長度等于3.