Question

【題目】已知：如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點E，且E為CD中點，過點B作CD的平行線交弦AD的延長線于點F .

（1）求證：BF是⊙O的切線；

（2）連結BC，若⊙O的半徑為2，tan∠BCD=，求線段AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由垂徑定理可證AB⊥CD，由CD∥BF，得AB⊥BF，則BF是⊙O的切線；

（2）連接BD，根據同弧所對圓周角相等得到∠BCD =∠BAD，再利用圓的性質得到∠ADB=90°， tan∠BCD= tan∠BAD= ，得到BD與AD的關系，再利用解直角三角形可以得到BD、AD與半徑的關系，進一步求解即可得到答案.

（1）證明：∵ ⊙O的直徑AB與弦CD相交于點E，且E為CD中點

∴ AB ⊥CD, ∠AED =90°

∵ CD // BF

∴ ∠ABF =∠AED =90°

∴ AB⊥BF

∵ AB是⊙O的直徑

∴ BF是⊙O的切線

（2）解：連接BD

∵∠BCD、∠BAD是同弧所對圓周角

∴∠BCD =∠BAD

∵ AB是⊙O的直徑

∴∠ADB=90°

∵ tan∠BCD= tan∠BAD=

∴

∴設BD=3x，AD=4x

∴AB=5x

∵ ⊙O的半徑為2，AB=4

∴5x=4，x=

∴AD=4x=