Question

【題目】問題背景：如圖 1，在和中，，連接 交的延長線于點．則的值是____________．

問題解決：如圖 2，在問題背景的條件下，將繞點在平面內旋轉，點始終在的外部，所在直線交于點，若，當點與點重合時，的長是____________

Answer 1

【答案】

【解析】

問題背景：根據兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD，則；

問題解決：正確畫圖形，當點C與點M重合時，有兩種情況：如圖3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，則∠AMB=90°，，可得AC的長．

解：問題背景：∵Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，

∴，

同理得：，

∴，

∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，

∴；

問題解決：①點C與點M重合時，如圖3，同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB=90°，，

設BD=x，則AC=x，

Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，
∴CD=2，BC=x-2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，

∴AB=2OB=2，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，

，

解得：x1=3，x2=-2，
∴AC=，

②點C與點M重合時，如圖4，同理得：∠AMB=90°，，

設BD=x，則AC=x，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，

，

解得：x1=-3，x2=2，
∴AC=2（不合題意舍去）；

綜上所述，AC的長為3，

故答案為：；3.