Question

8．在△ABC中，AB=AC，AD，CE分別平分∠BAC和∠ACB，且AD與CE交于點M．點N在射線AD上，且NA=NC．過點N作NF⊥CE于點G，且與AC交于點F，再過點F作FH∥CE，且與AB交于點H．

（1）如圖1，當∠BAC=60°時，點M，N，G重合．
①請根據題目要求在圖1中補全圖形；
②連結EF，HM，則EF與HM的數量關系是EF=HM；
（2）如圖2，當∠BAC=120°時，求證：AF=EH．

Answer 1

分析 （1）①根據條件可補全圖形，如圖1①；②連接MF，如圖1②，要證EF=HM，由于點M，N重合，只需證到EF=HN，只需證到四邊形ENFH是矩形即可．
（2）連接FM，EF，如圖2．易證△ANC是等邊三角形，從而有AN=AC．進而可證到△AFN≌△AMC，則有AF=AM，從而得到△AMF是等邊三角形，則有AF=FM，∠AMF=60°．進而可證到四邊形FHEM是平行四邊形，則有EH=FM，即AF=EH．

解答 解：（1）①補全圖形，如圖1①．
②連接MF，EF，如圖1②．
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴CA=CB．
∵CE平分∠ACB，
∴CE⊥AB，即∠AEC=90°．
∵NF⊥CE，即∠FNC=90°，
∴∠AEC=∠FNC，
∴EH∥FN．
∵FH∥CE，
∴四邊形ENFH是平行四邊形．
∵∠AEC=90°，
∴平行四邊形ENFH是矩形．
∴EF=HN．
∵點M，N重合，
∴EF=HM．
故答案為：EF=HM．

（2）連接FM，如圖2．
∵AD，CE分別平分∠BAC和∠ACB，且∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°，∠ACE=∠BCE．
∵AB=AC，∴AD⊥BC．
∵NG⊥EC，
∴∠MDC=∠NGM=90°，
∴∠BCE+∠DMC=90°，∠MNG+∠DMC=90°．
∴∠BCE=∠MNG．
∴∠ACE=∠MNG．
∵NA=NC，∠NAC=60°，
∴△ANC是等邊三角形，
∴AN=AC．
在△AFN和△AMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANF=∠ACM}\\{AN=AC}\\{∠NAF=∠CAM}\end{array}\right.$，
∴△AFN≌△AMC（ASA），
∴AF=AM．
∴△AMF是等邊三角形．
∴AF=FM，∠AMF=60°．
∴∠AMF=∠BAD．
∴FM∥AE．
∵FH∥CE，
∴四邊形FHEM是平行四邊形．
∴EH=FM．
∴AF=EH．

點評 本題考查了黃金三角形、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、垂直平分線的性質、平行線分線段成比例等知識，綜合性比較強，有一定的難度．